一、Hough变换简介

霍夫变换（Hough Transform)是数字图像处理中的一种特征提取技术
常用于判断图像中哪些点共线
可以检测直线，也可以检测圆或椭圆

二、Hough变换的数学理解

1.x-y变量空间至k-b参数空间的变换

已知一条直线在直角坐标系下可以用 $y=kx+b$ 表示，霍夫变换的主要思想是将方程的参数与变量交换，从变量空间x,y变换到参数空间k,b来对直线进行表示。在变量空间中的一个点 $(x_1,kx_1+b)$ 在参数空间中就表示为一条直线 $b=y_1-kx_1$ ，这样在参数空间y-x中的“点共线”问题就转换为了参数空间k-b中的“线相交”问题，且有几个点共线就有几条线相交。（如图1）

图1 变量空间--->参数空间的转换

2.x-y变量空间至 $\rho$ - $\theta$ 空间的变换

可以用极坐标来表示参数（如图2）

图2 参数空间为极坐标空间

直线 $y=kx+b$ 用极坐标表示为

$\rho =xcos(\theta)+ysin(\theta)$

其中， $\rho$ 为从原点到直线最近距离的向量， $\theta$ 为向量与x轴的夹角。

对于竖直方向的直线， $\theta=0^o$ ， $\rho$ 为正的x的截距；对于水平直线， $\theta=90^o$ , $\rho$ 为正的y的截距；或 $\theta=-90^o$ ， $\rho$ 为负的y的截距。

图2（右）中的两条正弦曲线，分别表示过特定点 $(x_i,y_i)、(x_j,y_j)$ 、 $(x_j,y_j)$ 的两个直线族，交点 $(\rho',\theta')$ 对应于通过 $(x_i,y_i)、(x_j,y_j)$ 、 $(x_j,y_j)$ 的直线。

由此， $\rho$ - $\theta$ 空间中，某点处相交的正弦曲线的数量等于相应的x-y空间中共线的点的数量。

三、Hough变换应用于线检测（MATLAB实现）

1.检测步骤

对图像进行Hough变换；
找出变换域中的峰值数据（相交直线最多的点）；
根据峰值数据的空域坐标绘出对应直线。


%%Hougn变换
I=imread('coloredChips.png');
f=rgb2gray(I);%RGB-->gray
f=f(round(end/2):end,1:round(end/2));
BW=edge(f,'canny');  %edge:以灰度图像为输入，'canny'为边缘检测算子
%     输出BW为二值图像，边缘处为白（255）其余部分为黑（0）
imshow(f)
title('原始图像')
[row,col]=size(BW);
rhomax=round((row*row+col*col)^0.5);
A=zeros(2*rhomax,180);   %这里，实际上rho的取值范围为[-rhomax,rhomax]，
%但是为了后面进行数量统计，转变为[1,2rhomax]
for m=1:row
    for n=1:col
        if BW(m,n)>0 %判断为边缘
            for theta=1:180
r=theta/180*pi; %角度转换
rho=round(m*cos(r)+n*sin(r));
%Hough变换
rho=rho+rhomax+1;   %坐标平移
%这里的理解，首先matlab中数组是从1开始计数，所以+1；
%数组坐标不能<0，所以 +rhomax
A(rho,theta)=A(rho,theta)+1;   %数量统计
            end
        end
    end
end
[rho,theta]=find(A>130);   %超过130个点视为共线,rho列号，theta行号
nma=length(rho);
figure,imshow(BW)
for i=1:nma
hold on
m=1:row;
r=theta(i)/180*pi;
n=(rho(i)-rhomax-m*cos(r))/(0.0001+sin(r));
plot(n,m,'w-','LineWidth',6);
end
title('hough线检测');

2.使用MATLAB工具箱中的Hough变换函数进行边缘检测


%%MATLAB工具箱中的Hough变换函数进行边缘检测
I=imread('circuit.tif');
rotI=imrotate(I,33,'crop');
BW=edge(rotI,'canny');
imshow(BW);
title('原图');
%对图像进行Hough变换
[H,T,R]=hough(BW);  %[H,theta,rho]
%显示变换域
figure,imshow(imadjust(rescale(H)),'XData',T,'YData',R,...
              'InitialMagnification','fit');
xlabel('\theta');ylabel('\rho');
axis on,axis normal,hold on
title('变换域');
%计算变换域峰值
P=houghpeaks(H,5,'threshold',ceil(0.3*max(H(:))));
x=T(P(:,2));y=R(P(:,1));
plot(x,y,'s','color','red');
%标记直线
lines=houghlines(BW,T,R,P,'FillGap',5,'MinLength',7);
figure,imshow(rotI),hold on
max_len=0;
for k=1:length(lines)
xy=[lines(k).point1;lines(k).point2];
plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','white');
%Plot beginning and ends of lines
plot(xy(1,1),xy(1,2),'xw','LineWidth',2);
plot(xy(2,1),xy(2,2),'xw','LineWidth',2);
%Determine the endpoints of the longest line segment
len=norm(lines(k).point1-lines(k).point2);
    if(len>max_len)
max_len=len;
xy_long=xy;
    end
end
title('检测结果')