OPTICS聚类算法是基于密度的聚类算法，全称是Ordering points to identify the clustering structure。提到基于密度的聚类算法，应该很快会想到前面介绍的DBSCAN聚类算法，事实上，OPTICS也是为了优化DBSCAN而出现的。

一、原理

在DBSCAN算法中，有两个比较重要的参数：邻域半径eps和核心对象的最小邻域样本数min_samples，选择不同的参数会导致最终聚类的结果千差万别，而在高维数据中，两个参数的联合调参也不是一件容易的事。OPTICS算法的提出就是为了帮助DBSCAN算法选择合适的参数，降低输入参数的敏感度。实际上，OPTICS并不显式的生成数据聚类结果，只是对数据集中的对象进行排序，得到一个有序的对象列表，通过该有序列表，可以得到一个决策图，通过决策图可以选择不同的eps参数进行DBSCAN聚类。在继续阅读下面的内容之前，需要先了解DBSCAN的相关内容，因为本文的部分概念来自于DBSCAN。

在DBSCAN的基础上，OPTICS定义了两个新的距离概念：

（1）核心距离

对于一个给定的核心对象X，使得X成为核心对象的最小邻域距离 r 就是X的核心距离。这句话乍一看有点绕，其实仔细读两遍就明白了，假如在DBSCAN中我们定义 eps = 1.2 和  min_samples=5，X在eps = 1.2的邻域内有8个样本点，则X是核心对象，但是我们发现距离X最近的第5个点和X的距离是0.8，那么核心对象 X 的核心距离就是 0.8，显然每个核心对象的核心距离并不都是相同的。参考图1，注意在计算 min_samples 的时候，一般也包括样本点自身，所以只需在P点eps邻域内找到7个点，那么P点就是核心点。

（2）可达距离

如果X是核心对象，则对象 Y 到对象 X 的可达距离就是Y到X的欧氏距离和X的核心距离的最大值，如果X不是核心对象，则Y和X之间的可达距离就没有意义（不存在可达距离），显然，数据集中有多少核心对象，那么 Y 就有多少个可达距离。在下文介绍 API 的时候，我们会介绍在OPTICS中，一般默认设置 eps 为无穷大，即只要数据集的样本数不少于 min_samples，那么任意一个样本点都是核心对象，即都有核心距离，且任意两个对象之间都存在可达距离。

1.1 算法描述

OPTICS的原理并不复杂，只不过大多数介绍资料都喜欢列举一些广义的算法流程或者伪代码，虽然满足算法介绍的严谨性，但是阅读起来不免显得晦涩难懂，没有阅读的欲望。因此，和之前的文章一样，本文也是先介绍OPTICS的标准算法流程，然后再以案例的形式介绍流程的具体执行逻辑，如果算法流程不能一下子理解的话，可以先跳过直接看后面的案例，然后再回来看标准流程。

OPTICS算法流程：

1. 已知数据集 D，创建两个队列，有序队列O和结果队列R（有序队列用来存储核心对象及其该核心对象的密度直达对象，并按可达距离升序排列；结果队列用来存储样本点的输出次序。可以把有序队列里面放的理解为待处理的数据，而结果队列里放的是已经处理完的数据）。
2. 如果D中所有点都处理完毕或者不存在核心点，则算法结束。否则，选择一个未处理（即不在结果队列R中）且为核心对象的样本点 p，首先将 p 放入结果队列R中，并从D中删除 p。然后找到 D 中 p 的所有密度直达样本点 x，计算 x 到 p 的可达距离，如果 x 不在有序队列 O 中，则将 x 以及可达距离放入 O 中，若 x 在 O 中，则如果 x 新的可达距离更小，则更新 x 的可达距离，最后对 O 中数据按可达距离从小到大重新排序。
3. 如果有序队列 O 为空，则回到步骤2，否则取出 O 中第一个样本点 y（即可达距离最小的样本点），放入 R 中，并从 D 和 O 中删除 y。如果 y 不是核心对象，则重复步骤 3（即找 O 中剩余数据可达距离最小的样本点）；如果 y 是核心对象，则找到 y 在 D 中的所有密度直达样本点，并计算到 y 的可达距离，然后按照步骤2将所有 y 的密度直达样本点更新到 O 中。
4. 重复步骤2、3，直到算法结束。最终可以得到一个有序的输出结果，以及相应的可达距离。

已知样本数据集为：D = {[1, 2], [2, 5],  [8, 7], [3, 6],  [8, 8], [7, 3], [4,5]}，为了更好地标识索引，我们以表格标识数据如下：

表1

索引	0	1	2	3	4	5	6	核心对象
元素	(1, 2)	(2, 5)	(8, 7)	(3, 6)	(8, 8)	(7, 3)	(4, 5)
核心距离	3.16	1.41	1.0	1.41	1.0	3.61	1.41
第一次可达距离	inf	3.16	8.60	4.47	9.21	6.08	4.24	0
第二次可达距离	--	--	6.32	1.41	6.70	5.38	2.0	1
第三次可达距离	--	--	5.09	--	5.39	5.0	1.41	3
第四次可达距离	--	--	4.47	--	5.0	3.61	--	6
第五次可达距离	--	--	4.12	--	5.0 (5.10)	--	--	5
第六次可达距离	--	--	--	--	1.0	--	--	2
输出顺序	0	1	5	2	6	4	3
可达距离	inf	3.16	4.12	1.41	1.0	3.61	1.41

假设eps = inf，min_samples=2，则数据集D在OPTICS算法上的执行步骤如下：

1. 计算所有的核心对象和核心距离，因为 eps 为无穷大，则显然每个样本点都是核心对象。因为 min_samples=2，则每个核心对象的核心距离就是离自己最近样本点到自己的距离（样本点自身也是邻域元素之一），具体如上表所示。
2. 随机在 D 中选择一个核心对象，假设选择 0 号元素，将 0 号元素放入 R 中，并从 D 中删除。因为 eps = inf，则其他所有样本点都是 0 号元素的密度直达对象，计算其他所有元素到 0 号元素的可达距离（实际就是计算所有元素到 0 号元素的欧氏距离，如表1第一次可达距离），并按可达距离排序，添加到序列 O 中。
3. 此时 O 中可达距离最小的元素是 1 号元素，取出 1 号元素放入 R ，并从 D 和 O 中删除，因为 1 号元素是核心对象，找到 1 号元素在 D 中的所有密度直达对象（剩余的所有样本点），并计算可达距离，同时更新 O（如表1第二次可达距离）。
4. 此时 O 中可达距离最小的元素是 3 号元素，取出 3 号元素放入 R ，并从 D 和 O 中删除，因为 3 号元素是核心对象，找到 3 号元素在 D 中的所有密度直达对象（剩余的所有样本点），并计算可达距离，同时更新 O（如表1第三次可达距离）。
5. 此时 O 中可达距离最小的元素是 6 号元素，取出 6 号元素放入 R ，并从 D 和 O 中删除，因为 6 号元素是核心对象，找到 6 号元素在 D 中的所有密度直达对象（剩余的所有样本点），并计算可达距离，同时更新 O（如表1第四次可达距离）。
6. 此时 O 中可达距离最小的元素是 5 号元素，取出 5 号元素放入 R ，并从 D 和 O 中删除，因为 5 号元素是核心对象，找到 5 号元素在 D 中的所有密度直达对象（剩余的所有样本点），并计算可达距离，同时更新 O（如表1第五次可达距离）。注意本次计算的4号元素到5号元素的可达距离是5.10，大于5.0，因此不更新4号元素的可达距离。
7. 此时 O 中可达距离最小的元素是 2 号元素，取出 2 号元素放入 R ，并从 D 和 O 中删除，因为 2 号元素是核心对象，找到 2 号元素在 D 中的所有密度直达对象（剩余的所有样本点），并计算可达距离，同时更新 O（如表1第六次可达距离）。
8. 此时 O 中可达距离最小的元素是 4 号元素，取出 4 号元素放入 R ，并从 D 和 O 中删除，因为 D 已空，O 也已空，程序结束。根据表1，最终的结果序列 R 的元素索引输出顺序为：0、1、3、6、5、2、4，可达距离如表1最后一行所示。

我们按照最终的输出顺序绘制可达距离图（注意，因为第一个元素没有可达距离，或者说可达距离是无穷大，故图中没有标出 0 号元素的可达距离）：

可以发现，可达距离呈现两个波谷，也即表现为两个簇，波谷越深，表示簇越紧密，只需要在两个波谷之间取一个合适的 eps 分隔值（图中蓝色的直线，例如两个可达距离的平均值），使用 DBSCAN 算法就会聚类为两个簇。即第一个簇的元素为：0、1、3、6、5；第二个簇的元素为：2、4。下面我们通过sklearn库来验证我们的结果。

二、实践

sklearn库同样为我们封装了 OPTICS 算法的API，供我们直接使用。

2.1 验证

基于1.1的数据集，使用OPTICS验证算法结果如下：

from sklearn.cluster import OPTICS
import numpy as npX = np.array([[1, 2], [2, 5],  [8, 7],[3, 6],  [8, 8], [7, 3], [4,5]])clustering = OPTICS(min_samples=2).fit(X)print(clustering.core_distances_)
'''
array([3.16227766, 1.41421356, 1.  , 1.41421356, 1.  ,3.60555128, 1.41421356])
'''print(clustering.ordering_)
'''
array([0, 1, 3, 6, 5, 2, 4])
'''print(clustering.reachability_)
'''
array([inf, 3.16227766, 4.12310563, 1.41421356, 1.        ,3.60555128, 1.41421356])
'''print(clustering.labels_)
'''
array([0, 0, 1, 0, 1, 0, 0])
'''

根据图3，选择 eps=3.8，使用DBSCAN算法验证如下：

import sklearndb = sklearn.cluster.DBSCAN(eps=3.8,min_samples=2).fit(X)
db.labels_## array([0, 0, 1, 0, 1, 0, 0])

参考资料

[1] https://blog.csdn.net/PRINCE2327/article/details/110412944