【线性代数】第一章 1.1矩阵及其运算

【写在前面的话】众所周知，线性代数在计算机应用方面也是比较广的（比如人工智能等前沿科技领域）。所以...在CSDN记录线性代数的知识不为过吧，哈哈（//狗头保命）。从这里开始我将详细记录线性代数知识点。想要学线性代数的小伙伴可以跟随我的脚步一起学习一下。（坚持每天至少发一篇）话不多说，我们直接开始。

1.1矩阵及其运算

一，矩阵的概念

二，矩阵的线性运算

三，矩阵的乘法

四，矩阵的转置

一，矩阵的概念

我们先来看一下书上关于矩阵的标准定义：由m×n个数排成的m行n列数表

称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵，其中 $_{aij}$ 表示第i行第j列处的元（或称元素），i称为 $_{aij}$

的行指标，j称为 $_{aij}$ 的列指标。

元是实数的矩阵称为实矩阵，元为复数的矩阵称为复矩阵。一般未加特殊说明，都默认为是实矩阵。

举个简单的例子：如果你看到了一个形如这样的东西

$\begin{pmatrix} 0 & 3&4 &7 &5 \\ 8&2 &3 &0 &2 \\ 5&4 &0 &6 &6 \end{pmatrix}$ ,那么我们可以称它是一个3×5的矩阵，其中“3”表示这个矩阵的行，“4”表示这个矩阵的列（基于此，我们可以利用下标表示矩阵里的任何一个元，如： $_{a12}$ =3, $_{a24=0}$ , $_{a35}$ =6）。

以为矩阵的概念到此就介绍了吗？（哈哈，同学，你还是太单纯）请接收由矩阵的基础定义而拓展的一系列其他矩阵相关概念的“轰炸”。但是看的时候也不要有太多的心里负担，因为这些概念可以更好的帮助我们理解矩阵。（新增拓展矩阵概念已用“绿色”标记）

系数矩阵：

n元线性方程组

的系数可以组成一个m行n列矩阵

称为方程组的系数矩阵；

增广矩阵：

而系数及常数项可以组成一个m行n+1列矩阵

称为方程组的增广矩阵。

零矩阵：

元全为零的矩阵称为零矩阵，记作 $_{Omn}$ 或 $^{O}$ （注意：m和n之间应该有个“×”，实在打不出来，呜呜呜┭┮﹏┭┮，之后类似的试子也是如此，比如下方的 $_{O22}$ , $_{O23}$ ，此后不再复述）.如

$_{O22}=\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}$ ， $_{O23}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&0 &0 \end{pmatrix}$ .

当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方程）。

行矩阵和列矩阵：

只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵

$\begin{pmatrix} _{a11}, &_{a12}, &..., &_{a1n} \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} _{a11}\\ _{a21}\\ ...\\ _{am1} \end{pmatrix}$ 分别称为行矩阵和列矩阵。

对角矩阵：

若矩阵的元 $_{aij}$ =0(i≠j),则称A为对角矩阵， $_{aii}$ (i=1,2...,n)称为A的对角元，记作A=diag( $_{a11},_{a22},...,_{ann}$ )

例如， $A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0&5 \end{pmatrix}=diag(-1,5)$

为二阶对角矩阵.

单位矩阵：

对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为 $_{In}$ ,在不致混淆时也记为 $_{I}$ ,即

$_{I}=diag(1,1,...,1)=\begin{pmatrix} 1 & & & \\ &1 & & \\ & &... & \\ & & &1 \end{pmatrix}$

要记住 $I$ 的含义呦~之后会经常用到的

上三角矩阵和下三角矩阵：

形如

$\begin{pmatrix} _{a11} &_{a12} &... &_{a1n} \\ 0 &_{a22} &... &_{a2n} \\ ... & ... & ... &... \\ 0& 0 & ... & _{ann} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} _{a11} & 0 & ... & 0\\ _{a21}& a22 & ... &0 \\ ...& ...& ... &... \\ _{an1}&_{an2} &... & _{ann} \end{pmatrix}$

的矩阵被称为上三角矩阵和下三角矩阵。

二，矩阵的线性运算

为了讨论矩阵的运算，我们首先给出矩阵相等的概念。

如果A和B都是m×n矩阵，就称A和B为同型矩阵。

两个矩阵A=( $_{aij}$ )和B=( $^{bij}$ )如果是同型矩阵，且对应元相等，即 $_{aij}=_{bij}$ ,就称A和B相等。

现在我们介绍矩阵的加法

定义2（矩阵的加法）设矩阵

$A=\begin{pmatrix} _{a11} &_{a12} &... &_{a1n} \\ _{a21}& _{a22} & ... &_{a2n} \\ ...& ...& ... &... \\ _{am1}& _{am2} &... & _{amn} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} _{b11} &_{b12} & ...&_{b1n} \\ _{b12} & _{b22}& ... & _{b2n}\\ ...& ...&... & ...\\ _{bm1} &_{bm2} &... & _{bmn} \end{pmatrix}$

是两个m×n矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的m×n矩阵

$C=\begin{pmatrix} _{a11}+_{b11} &_{a12}+_{b12} &... & _{a1n}+_{b1n} \\ _{a21}+_{b21} &_{a22}+_{b22} & ... & _{a2n}+_{b2n} \\ ... & ...& ...&... \\ _{am1}+_{bm1} &_{am2}+_{bm2} &... & _{amn}+_{bmn} \end{pmatrix}$

则称矩阵C是矩阵A和B的和，记为C=A+B.

举个栗子🌰：若 $A=\begin{pmatrix} 30 &125 &17 &0 \\ 20 & 0 & 14& 23\\ 0& 20 &20 &30 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 10 & 15 & 13 & 30\\ 0& 40&16 &17 \\ 50 & 10 & 0&10 \end{pmatrix},$

那么 $A+B=\begin{pmatrix} 40& 40& 30& 30\\ 20& 40& 30& 40\\ 50&30 &20 &40 \end{pmatrix}.$

值得注意的是，只有同型矩阵才能相加，且同型矩阵之和仍为同型矩阵。

下面介绍矩阵与数的乘积

定义3（矩阵的乘数）设 $A=(_{aij})$ m×n是一个m×n矩阵，k是一个数，则称矩阵

$\begin{pmatrix} _{ka11} & _{ka12}& ...&_{ka1n} \\ _{ka21}&_{ka22} &... &_{ka2n} \\ ... &... &... &... \\ _{kam1}&_{kam2} &... &_{kamn} \end{pmatrix}$

为矩阵A和数k的乘积（简称矩阵的数乘），记为kA.

也就是说，用数k乘矩阵A就是将A中每一元都乘k.

矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算。

基于此，容易得出矩阵的线性运算满足下列八条性质。

设A,B,C为同型矩阵，k,l为数.

$1^{0}$ A+B=B+A

$2^{0}$ (A+B)+C=A+(B+C)

$3^{0}$ A+O=A

$4^{0}$ A+(-A)=O

$5^{0}$ 1A=A

$6^{0}$ k(lA)=(kl)A

$7^{0}$ k(A+B)=kA+kB

$8^{0}$ (k+l)A=kA+lA

三，矩阵的乘法

定义4 设m×p矩阵 $A=(_{aij})$ m×p，p×n矩阵B= $(_{bij})$ p×n，则由元

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}(i=1,2...,n)$

构成的m×n矩阵 $C=(c_{ij]})$ m×n称为矩阵A和B的乘积，记为C=AB.

举个例子：设

$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 3 & 1\\ 2&2 \end{pmatrix},$

则 $AB=\begin{pmatrix} 1*1+2*3+3*2 &1*3+2*1+3*2 \\ 3*1+2*3+1*2 &3*3+2*1+1*2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13 & 11\\ 11& 13 \end{pmatrix}.$

有定义可知：

（1）A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；

（2）乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；

（3）乘积C中第i行第j列元 $c_{ij}$ 等于A的第i行元与B的第j列元对应乘积之和，即 $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}(i=1,2...,n)$

矩阵乘法满足下列运算规律：

$1^{0}$ 结合律（AB）C=A(BC);

$2^{0}$ 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),k为数;

$3^{0}$ 分配律 A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.

请看下面的例子：设 $A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1& 1 \end{pmatrix},$ 求AB和BA.

显然

$AB=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},BA=\begin{pmatrix} 2 & 2\\ -2 & -2 \end{pmatrix}.$

在上述例子中我们可以看出矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般AB≠BA。

当AB≠BA时，称A与B不可交换；当AB=BA时，称A与B可交换。

由例子还可见，A,B都是非零矩阵，但AB=O.由此可知，矩阵的乘法不满足消去律，即A≠0时，由AB=AC不能推出B=C.

矩阵乘法一般不满足交换律，但是，容易得到如下常用结果：

$I_{m}A$ m×n= $A$ m×n， $A_{m}$ ×n $I_{n}$ = $A$ m×n. 我们称

$kI=diag(k,k,...,k)=\begin{pmatrix} k & & & \\ & k& & \\ & & ...& \\ & & & k \end{pmatrix}$ （k≠0）

为数量矩阵。

n阶数量矩阵 $kI$ 与任意n阶矩阵A也是可交换的，这是因为 $(kI)A=k(IA)=kA,A(kI)=k(AI)=kA.$

我们还可定义方阵的幂和方阵的多项式.

定义 5 设A是n阶方阵，k为正整数，定义

$\left\{\begin{matrix} A^{1}=A & \\ A^{k+1}=A^{k}A&,k=1,2,.... \end{matrix}\right.$

由定义可证明：当m,k为正整数时，

$A^{m}A^{k}=A^{m+k},(A^{m})^{k}=A^{mk}$

但需注意，一般 $(AB)^{k}$ ≠ $A^{k}B^{k}$ .

当AB=BA时， $(AB)^{k}=A^{k}B^{k}=B^{k}A^{k},$ 但其逆不真。

定义 6 设f(x)= $a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 是x的k次多项式，A是n阶方阵，则

f(A)= $a_{k}A^{k}+a_{k-1}A^{k-1}+...+a_{1}A+a_{0}$

称为方阵A的k次多项式.

由定义容易证明：若f(x),g(x)为多项式，A,B均为n阶方阵，则

f(A)g(A)=f(B)g(B).

但是一般情况下

f(A)g(B)≠g(B)f(A)

这里要注意，一般来说

$(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2},$

$(A+B)(A-B)\neq (A-B)(A+B)\neq A^{2}-B^{2},$

等等。但是，由于 $AI=IA,$ （当 $B=I$ 时）因而

$(A+B)^{2}= A^{2}+2AB+B^{2},$

$(A+B)(A-B)= (A-B)(A+B)= A^{2}-B^{2},$