SVM原理及推导过程

article/2025/9/13 5:30:03

SVM简介

SVM核心是最优化方法（带约束条件，拉格朗日乘子法），思想是max（min），即最大化最小间隔（找到最小间隔的点，即支持向量），目标就是求解参数alpha、w、b，确定超平面，然后就能正常的二分类（和逻辑回归类似）；其中最著名的实现方法是SMO或Platt SMO；确定目标函数，严格推导发现，最终只和所有点的向量内积有关；和kNN对比，只需保留少量样本，占用内存小；

（经典MIT课程 https://www.youtube.com/watch?v=_PwhiWxHK8o ）核函数是对于无法直接二分类进行的函数转换，使得可以二分类（用曲线或曲面代替直线或超平面）；可以把核函数看成包装器或接口，在高维空间解决线性问题，等价于在低维空间解决非线性问题；把‘内积’替换成‘核函数’叫做核技巧；径向基核函数（高斯版本）以及多项式核函数是常见的核函数；
（吴恩达SVM使用了对偶方法求解，即max(min)变为min(max)，也提到kkt，最后求出w和b的公式，也是内积的线性和）
（任何线性分类器，若能写成内积的形式，都能用核函数替换它，如逻辑回归等）
（核函数其实是一种求相似度的函数，把两个向量变为一个标量，即相似度。所以从侧面说明，内积也是一种相似度）
（核函数的选择要求满足Mercer定理（Mercer’s theorem），即核函数在样本空间内的任意格拉姆矩阵（核矩阵）为半正定矩阵）
（soft margin解决非线性可分问题；坐标下降法，是一种非梯度优化算法，每次只更新一个参数）
（SMO每次同时更新两个alpha，迭代以满足kkt条件；注意：根据公式，只要所有alpha求出来了，w也就确定了，进而b也确定了）

https://www.youtube.com/watch?v=FCUBwP-JTsA （吴恩达SVM Lecture 12.1-12.6）
https://www.youtube.com/watch?v=qyyJKd-zXRE&list=PLEBC422EC5973B4D8&index=6 （CS229第6、7、8课）
https://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/13/1982684.html

背景知识

什么是kkt条件与拉格朗日乘子法？
对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件求取；
对于不等式约束，只要满足一定的条件，依然可以使用拉格朗日乘子法解决，这里的条件便是KKT条件；
可以把KKT条件视为是拉格朗日乘子法的泛化；而拉格朗日乘数法正是KKT条件在等式约束优化问题的简化版；
https://www.cnblogs.com/ooon/p/5721119.html
https://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7919597
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1618344063706450694&wfr=spider&for=pc
https://www.cnblogs.com/liaohuiqiang/p/7805954.html
https://blog.csdn.net/loadstar_kun/article/details/25369017
https://blog.csdn.net/johnnyconstantine/article/details/46335763

什么是拉格朗日对偶？
https://www.cnblogs.com/ooon/p/5723725.html
http://www.hankcs.com/ml/lagrange-duality.html
https://blog.csdn.net/timingspace/article/details/50966105

什么是坐标下降法？
https://blog.csdn.net/qq_32742009/article/details/81735274
https://www.cnblogs.com/makefile/p/coord-descent.html

SVM核心思想及公式推导
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为什么需要核函数
考虑下图左一，很明显数据无法线性划分，如果你用一条直线强行划分，可能会得到下图中间的结果，而引入核函数，划分结果如下图右一，是不是很机智呢:)

举一个更直观的例子，下图左边的数据看起来无法线性划分，假如告诉你这些点其实是三维空间在二维平面的投影，它们在三维空间的位置如右边所示，那么很明显这几个点是可以用一个超平面线性划分的。
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