1. 差分放大器与共模抑制比

1.1差分放大器

差分放大器有两个输入端和一个输出端，它可以获取两个输入电压之间的差值，并将这个差值放大后送到输出端，差分放大器的模型如下：
在这里插入图片描述

输入电压 $v_{i1}, v_{i2}$ 与输出 $v_o$ 的关系为：
$v_o=A_d(v_{i1}-v_{i2})$
其中 $A_d$ 是差分放大器的放大倍数

对于一个理想的差分放大器，如果一个信号同时加给放大器的两个输入端，则 $v_{i1}=v_{i2}\rightarrow v_o=0$
这种同时出现在两个输入端的信号叫做共模信号（common mode signal）

可惜的是，实际中的共模信号仍然会产生一个很小的输出电压，如何区分一个差分放大器的好坏，就看它能不能在接收到不同信号时提供高增益，而在收到共模信号时提供低增益，不同信号对应增益的比值就是共模抑制比（CMRR），因此，一个差分放大器的品质可以用它的共模抑制比来表示

有一点要注意的是，共模信号 $v_{ic}$ 在两个输入端的差值并不是 $v_{i1}-v_{i2}$ ，而是 $\frac{v_{i1}+v_{i2}}{2}$ ，既两个输入端电压的平均值

了解了差分放大器的功能后，我们来看一看差分放大器可以用来干什么。
在实际应用中，我们常常需要放大一些很微弱的交流电信号，但是很多不必要的干扰信号（噪声），可能也会被放大器捕获并彻底掩盖我们真正想要得到的信号。假如我们使用差分放大器来处理信号，由于被捕获的干扰信号在两个输入端一般是一致的，所以干扰信号会被认定为是共模信号，而我们需要的信号则通常是交流差模信号。因此，只有我们想要的信号会被放大，可以很好地提升信噪比。

举个例子，我们输入一个交流信号时， $v_{i1}=50\mu V, v_{i2}=-v_{i1}=-50\mu V$
此时我们可以得到差模输出电压为 $v_{i1}-v_{i2}=100\mu V$
而此时的共模输出电压为 $\frac{v_{i1}+v_{i2}}{2}=0\mu V$

假如此时出现噪声，导致输入两端的电压都增加了 $1000\mu V$ ，此时的差模输出电压不会改变，仍为 $v_{i1}-v_{i2}=100\mu V$ ，这就避免了噪声干扰

下图可以帮助我们更直观的看到差分放大器的效果：
在这里插入图片描述

上面第一幅图是普通的放大器，可以看到干扰信号 $V_n$ 和我们需要的信号 $V_s$ 一起被放大了，使得输出信号 $V_o$ 充满噪声

第二幅图是差分放大器，可以看到输入端两个信号的差值正好是我们需要的信号 $V_s$ ，所以输出的结果不含干扰信号 $V_n$ ，是信噪比非常低的信号

1.2 共模抑制比

一个差分放大器的共模抑制比代表了这个放大器的品质
它能告诉我们这个放大器可以多好地避免共模信号(CM)影响到我们想要的差分信号(DM)
我们定义共模抑制比的计算方式为：
$CMRR=\rho=|\frac{A_d}{A_c}|$
其中 $A_d$ 是差分信号对应的增益， $A_c$ 是共模信号对应的增益
共模抑制比越大，差分放大器的品质就越好

2. 长尾式差分放大电路以及它的交流/直流分析

在这里插入图片描述
上图是一个标准的长尾式差分放大电路

2.1 DC分析

对电路做直流分析时，我们要假设两个AC输入信号 $v_{i1}, v_{i2}$ 为0，此时两个晶体管基极电压都为0，而正向偏置的基极-射电极二极管压降约为0.6V，因此，通过电阻 $R_E$ 的电流为：
$I_o=\frac{V_{EE}-0.6}{2R_E}$
在长尾式差分放大电路中，两个晶体管 $Q_1,Q_2$ 是完全一样的，因此，流过的电流也相同，根据KCL，可以得到晶体管的电流为：
$I_{CQ}=\frac{V_{EE}-0.6}{2R_E}$

接着，我们需要用KVL对电路进行分析：
在这里插入图片描述
可以看到，这里增加了两个电阻 $R_{S1}, R_{S2}$ ，虽然图上不太直观，但 $V_{i1}, V_{i2}$ 下面是GND，实际上与最右边电源处的GND是相连的，因此构成如图所示的两个回路：

对这两个回路应用KVL，得到如下关系式：
在这里插入图片描述

对于这个电路，放大器两边的电阻，电流，电压应该是对称的，即：

这样之前用KVL得到的两个方程就可以化简成一个：

接着，根据 $I_E=I_C+I_B=(\beta+1)I_B$ ，我们可以用 $I_E$ 代替式子中的 $I_B$ ，得到：
在这里插入图片描述
在实际中，几乎可以确定的是 $2(\beta+1)R_E>>R_S$ ，因此可以将 $R_S$ 消去：

这个方程确定了我们在最早得出的结果，但它也说明了关系式的成立需要哪些条件

注意，流过两个晶体管的电流与电阻 $R_C$ 没有关系， $R_C$ 只是确保三极管不会在电压摇摆时饱和

2.2 AC分析

作AC分析前，我们先画出等效电路图，如下所示：
在这里插入图片描述

2.2.1 共模输入电阻

对于共模信号，输入电压 $v_{i1}, v_{i2}$ 被认为来自同一个电源 $v_i$ ，此时的电路图如下：
在这里插入图片描述
$v_i$ 产生的总电流为 $i_{b1}+i_{b2}=i_i$
对 $v_i, R_E, v_\pi$ 围绕的环路作KVL，可以得到：
$v_i=v_\pi+v_{RE}$
$v_i=i_i\frac{r_\pi}{2}+(\beta i_{b1}+\beta i_{b2}+i_{b1}+i_{b2})R_E$
$v_i=i_i\frac{r_\pi}{2}+i_i(1+\beta)R_E$
$r_i(common)=\frac{v_i}{i_i}=\frac{r_\pi}{2}+(1+\beta)R_E$

2.2.2 共模电压增益

假设流经 $R_C$ 的电流为 $i_{C2}$ ，如图：
在这里插入图片描述
可以得到：

注意，只有穿过三极管Q2的电流会流经 $R_C$

电阻 $R_C$ 两端的电压就是输出电压，为：
在这里插入图片描述
用输出电压 $v_o$ 除以输入电压 $v_i$ ,可以得到共模增益 $A_v(CM)$ 为：

从上式中我们可以看出， $R_E$ 越大，共模时的电压增益就越小

2.2.3差分输入电阻

对于差模信号， $v_{i1}=-v_{i2}$ ，且 $i_{b1}=-i_{b2}$ ，等效电路如下：
在这里插入图片描述
此时 $v_{i1}, v_{i2}$ 产生的增益后的电流会互相抵消，通过 $R_E$ 的电流不变？？？，点P的电势也不会改变

可以观察到，输入电阻为 $2r_{\pi}=\frac{2\beta}{g_m}=\frac{\beta}{20I_{CQ}}$
因此，较低的 $I_{CQ}$ 可以增大输入电阻

2.2.4 差分电压增益

因为施加在两个三极管基极的电压大小相等，方向相反，P点的电势保持它在直流时的值？？？
输出电压为：
在这里插入图片描述？？？
则电压增益为 $v_o/v_i$ 等于

注意这里只能算半个共发射极放大电路（CE），因为输入信号被平分给了两个三极管，只有一半给了CE，也只有施加给Q2的信号才会对流经 $R_C$ 的输出电流有影响