使用matlab编写协方差矩阵计算矩阵

article/2025/11/11 3:15:18

Dr.Can在他的教学视频（【卡尔曼滤波器】2_数学基础_数据融合_协方差矩阵_状态空间方程_观测器问题）中使用了足球运动员的数据介绍了协方差矩阵的概念和计算方法，原始数据如下图，那么协方差矩阵到底是什么？他有什么用？我们怎么计算协方差矩阵？如何编写程序让计算机帮助我们计算协方差矩阵呢？
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协方差矩阵其实是用来描述一个数据集中不同字段（属性）数据之间的关联程度的。百度词条的解释是：

协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

用数学语言，协方差的公式可以表示为：
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我们用简单的人话来说，就是如果两个字段（属性）正相关的（也就是变化趋势一致），协方差是正的；如果负相关（也就是变化趋势相反），那么协方差就是负的。将协方差和两个属性的标准差相除，我们还可以得到一个区间为（-1,1）的相关系数，用来归一化的表示两个字段（属性）的相关程度：
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DR.CAN提到了一种基于过度矩阵的计算方法，也就是将协方差的计算公式变形一下，这样我们就可以使用matlab中自带的矩阵运算函数得到非常简洁的表达，并且能够高效快速的得到计算结果，计算过程如下：
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我把这种算法写成了matlab函数如下：

function [P] = covarianceMatrix(M)
%输入数据表M矩阵，输出这组数据的协方差矩阵
%   通过引入过度矩阵来简化运算的步骤
N = size(M,1);
dim = size(M,2);
A = ones(N,N);
a = M - 1/N*A*M;
P = 1/N*a'*a
end

我们输入数据调用一下这个函数如下：

M = [179,74,33;187,80,31;175,71,28;170,72,33;185,81,32;177,75,28;178,71,30;187,83,35;190,94,27;178,73,21;170,68,29;183,73,23;184,78,31;180,75,24;180,76,20;
]
covarianceMatrix(M)