欧拉函数与欧拉定理

article/2025/11/10 18:58:56

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说在前面

按照惯例，出于尊重，还是简单介绍一下这位多产的学术伟人
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
这篇文章要讲的就是欧拉函数及欧拉定理。

欧拉函数

简介欧拉函数
首先，没有欧拉函数是没有欧拉定理滴。
在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’so totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

如何求欧拉函数
这里有个通式

（φ这个符号好难打。。就直接挂图了）
其中每个p是x互不相同的质因数，x为正整数，φ(1)=1，同时显然的任意一个质数的φ就是它自己减一。
通式的实质是将与x有大于1的公约数的数全部筛掉了。
这样求单个φ可以，但求一大串效率是不是太低了？

利用欧拉函数的特殊性质求φ
首先，p为质数
若i mod p = 0，则φ(i * p) = φ(i) * p；
若i mod p > 0，则φ(i * p) = φ(i) * (p-1)；
证明自己看看同时就懂了。
这样我们O(n)的求出1~n的φ，如同用欧拉筛法求质数一样，φ也可以用筛法求质数的同时求。
直接挂代码吧：

for(i=1;i<=n;i++)
{if(prime[i]) //判断是否质数{phi[i] = i-1;num++;zs[num] = i;}//筛质数顺便求解for(j=1;i*zs[j]<=n && j<=num;j++){prime[i*zs[j]] = false;if(i%zs[j]!=0) phi[i*zs[j]] = phi[i]*phi[zs[j]];else phi[i*zs[j]] = phi[i]*zs[j];}
}

与欧拉筛法求质数的方式如出一辙。

欧拉函数的一些应用

求1~n内与n互质的数的个数，直接就是φ。
求1~n内与n互质的数的总和，就是n * φ(n)/2；（1~n内与n互质的数具有对称性，即gcd(x,n)=1,则gcd(n-x,n)=1）
接下来要讲的欧拉定理
……

欧拉定理

简介欧拉定理
若gcd(a,p)=1,则a^φ(p) ≡ 1 (mod p) 这个定理可以求乘法逆元（乘法逆元讲解）。
而且包含了费马小定理（a ^ (p-1) ≡ 1 (mod p)要求p为质数），因为当p为质数时φ(p) = p-1。

证明
将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）
我们考虑这么一些数：
m1=a * x1；m2=a * x2；m3=a * x3 …… mφ(n) = a * xφ(n)；
一、这些数中的任意两个都不模n同余
因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：
mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)；
但是a与n互质，而且xS-xR < n，因而左式不可能被n整除；
也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。

二、这些数除n的余数都与n互质
设r = a * xi mod n，则a * xi = qn+r；
设d = gcd(qn+r,n)，因为a与n互质，xi与n互质，所以qn+r与n互质，所以d = 1；
由欧几里得定理（欧几里得讲解）得，gcd(r,n) = gcd(qn+r,n)；
所以gcd(r,n) = 1，即余数与n互质。

由上可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）mod n必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n)。
故得出：m1 * m2 * m3……mφ(n) ≡ x1 * x2 * x3……xφ(n) (mod n)
或者说a^φ(n) * (x1 * x2 * x3……xφ(n)) ≡ x1 * x2 * x3……xφ(n) (mod n)
两边同时消去x1 * x2 * x3……xφ(n)，得 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，得证。

欧拉定理的应用及推广

求解乘法逆元；
取模时降幂若a，n互质 a^k ≡ a^(k mod φ(n)) (mod n) 显然的；
扩展欧拉定理：
$这里写图片描述$
有没有觉得和上一个应用有点像？好像没什么用？
实际上功能强大，可以在 a和m不互质的时候使用，非常强的一种降幂方式，具体证明这里不在赘述，有链接（点这里）。