1. 欧拉函数
定义：欧拉函数ψ(n) 表示1~n中与n互质的数的个数
公式：如果一个数可以被分解质因式为N = p1α1 *p2α2……pkαk
则ψ(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)…(1 - 1/pk)
公式由容斥原理证明，证明略
算法实现思路： 利用求一个数的质因数的方法，结合公式求解
时间复杂度：O(√n）
例题：给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。
欧拉函数的定义
1 ~ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=p1a1p2a2…pmam，则：
ϕ(N) = N∗(p1−1)/p1∗(p2−1)/p2∗…∗(pm−1)/pm
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数ai。
输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4
#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;int main()
{int n; cin >> n;while(n--){int a;cin >> a;int res = a;for(int i = 2; i <= a / i; i++){if(a % i == 0){res = res / i * (i - 1); // 公式，不写成res * (1 - 1 / i) 是因为避免小数出现导致错误while(a % i == 0) a /= i;}}if(a > 1) res = res / a * (a - 1);printf("%d\n", res);}return 0;
}
2. 筛数法求欧拉函数
原理：在线性筛求质数的过程中，求出每个数的欧拉函数
例题： 给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。
输入格式
共一行，包含一个整数n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。
数据范围
1≤n≤106
输入样例：
6
输出样例：
12
#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 100010;
typedef long long LL;int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];LL get_eulers(int n)
{phi[1] = 1; // 规定1的欧拉函数值为1for(int i = 2; i <= n; i++){if(!st[i]){primes[cnt++] = i;phi[i] = i - 1; // 如果是质数，那他前面所有的数都与他互质}for(int j = 0; primes[j] <= n / i; i++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) {phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j]; // 如果i % primes[j] == 0则primes[j]是primes[j] * i最小质因数，所以公式中只有n不同（欧拉函数与质因数的指数无关）break;} phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1); // 如果i % primes[j] ！= 0 则primes[j]是比primes[j] * i最小质因数还小的一个因数，所以公式中n不同，还多一项（1- 1/ primes[j])}}LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];return res;
} int main()
{int n;cin >> n;cout << get_eulers(n) << endl;return 0;
}
3. 欧拉定理
若n,a为正整数，且n,a互质，则
定理证明：设1-n 中的n个互质的数是x1， x2, …, xψ(n)
则ax1， ax2, …, axψ(n)中任意两个数对n取模不同余（反正法：如果两个数ax1≡axq(mod n) 那么ax1-axq = a(x1-xq) = pn.但是 a(x1-xq) 与n互质，所以矛盾）。
又因为x1， x2, …, xψ都不相同，则ax1， ax2, …, axψ都不相同
所以：x1， x2, …, xψ = ax1， ax2, …, axψ = aψ(n)(x1， x2, …, xψ(n))
所以：aψ(n) = 1 (mod n)
费马小定理：a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
