思考这样一个问题，令S为一个希尔伯特空间，而空间S的一个子空间

当我们给定了，如何求最近上距离x最近的点。

则我们用数学语言表示该问题为一个优化问题：

该问题的解可以直接通过一个定理给出，即正交性定理（orthogonality principle）

Orthogonality Principle

定理描述如下：

令S为一个希尔伯特空间，而空间S的一个子空间，当我们给定任意的，

1. 一定存在一个唯一的点遵循：

2. 满足1的这个点是该优化问题的唯一解

接下来我们将分两部分证明上述定理，第一部分先证明满足1的解一定是问题的解，第二部分则会给出解的具体表达式以及唯一性的证明

Part I

由定理第一条我们有： 对于任何中元素都成立

（其中第二个等式是因为也在空间中，所以内积为0

所以显然：，当时等号成立，因此这也就证明了满足定理第一条的解一定时优化问题的解。

Part II

这一部分我们将给出解的计算方法，并通过解析表达式来去说明解是唯一的

现在假设的一组基底为，那么解则可以表示为：

则有：

求解ak，我们则可以通过线性代数的知识进行直接求解，首先我们把上述等式表示为矩阵的形式：

 左边的矩阵叫做基底vn的Gram矩阵，记作G，我们将右边的矩阵记为b

因为所有基底全部是线性无关的，所以G可逆，进而我们可以直接写出a的表达式：

并且由于G是可逆的，自然a只存在唯一解

以上