这学期上数学课时老师布置了一道习题：计算勒让德多项式的模。翻看本科数学物理方法教材，发现计算方法较复杂，且用到了生成函数
为了方便理清整个计算过程，这一博客直接从罗德里格斯公式出发并避免使用其它引论，或许对初次学习特殊函数有所帮助

罗德里格斯公式

勒让德多项式的一个重要物理背景就是球坐标下的静电场满足的拉普拉斯方程，${\nabla }^{2}V=0$，即
$$r^{-2}{\partial }_r^2(r^{2}V)+r^{-2}(sin(\theta ){)}^{-1}{\partial }_{\theta }^{2}V+r^{-2}(sin(\theta ){)}^{-2}{\partial }_{\varphi }^{2}V=0$$
分离变量：$V=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$，得$\Theta$满足得常微分方程为：
$$\frac{1}{sin\theta }\frac{d}{d\theta }\left(sin\theta \frac{d\Theta }{d\theta }\right)+l(l+1)\Theta -\frac{m^2}{si{n}^2\theta }\Theta =0$$.
进行变量代换：$x=cos(\theta ),dx=-sin\theta d\theta$，并假定$m=0$，即得到勒让德方程：
$$\frac{d}{dx}((1-u^2)\frac{d\Theta }{dx})+l(l+1)\Theta =0,x\in [-1,1]$$
该方程可通过级数法求解，所得级数与由罗德里格斯公式：
$$P_l(x)=\frac{1}{2^{l}l!}{u}_l^{(l)}(x),u_l(x)=(x^2-1{)}^l$$
展开后相同（参考数学物理方法教材）。
由于$u_l(x)$为2n次多项式，因此求$l$次导后所得$P_l(x)$为$l$次多项式，且前几阶勒让德多项式为：
$$P_0(x)=1,P_1(x)=x,P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$$

正交性

正交性即证明$⟨P_m,P_n⟩={\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=0,m\ne n$.
设$m>n\ge 0$，则$P_n(x)$为n次多项式，因此只需证明对任意$k\le n$，均有${\int }_{-1}^1{P}_m(x)x^{k}dx=0$.

1. 对于$k=0$，有：
   $${\int }_{-1}^1{P}_m(x)dx=\frac{1}{2^{m}m!}{u}_m^{(m-1)}{|}_{-1}^1$$
   而对任意$m^{\prime }<m$，由莱布尼兹公式：
   $$u_m^{(m^{\prime })}=\sum _{m^{\prime \prime }=0}^{m^{\prime }}[(x+1{)}^m{]}^{(m^{\prime \prime })}[(x-1{)}^m{]}^{(m^{\prime }-m^{\prime \prime })}$$
   由于$m^{\prime \prime },m^{\prime }-m^{\prime \prime }<m$
   $$u_m^{(m^{\prime })}(1)=u_m^{(m^{\prime })}(-1)=0$$
   （注意当$m^{\prime }=0$时上式同样成立）
   因此，${\int }_{-1}^1{P}_m(x)dx=0$
2. 对于$k\ge 1$，使用分部积分：
   $${\int }_{-1}^1{P}_m(x)x^{k}dx=\frac{1}{2^{m}m!}\left(x^k{u}_m^{(m-1)}{|}_{-1}^1-k{\int }_{-1}^1{u}_m^{(m-1)}(x)x^{k-1}dx\right)$$
   其中第一项为0，重复使用分部积分，最终得到：
   $$\begin{gathered} {\int }_{-1}^1{P}_m(x)x^{k}dx=\frac{(-1{)}^{k}k!}{2^{m}m!}{\int }_{-1}^1{u}_m^{(m-k)}(x)dx \\ =u_m^{(m-k-1)}{|}_{-1}^1=0 \end{gathered}$$

正交性得证；

归一化

勒让德多项式的模为：
$$\Vert P_n{\Vert }_{L^2}=\sqrt{{\int }_{-1}^1{P}_n(x)P_n(x)dx}$$
当$n=0$，有$\Vert P_0{\Vert }_{L^2}=\sqrt{2}$
当$n\ge 1$，有：
$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^1{P}_n(x)P_n(x)dx=\frac{1}{(2^{n}n!{)}^2}{\int }_{-1}^1{u}_n^{(n)}(x)u_n^{(n)}(x)dx \\ =\frac{1}{(2^{n}n!{)}^2}\left(u_n^{(n)}{u}_n^{(n-1)}{|}_{-1}^1-{\int }_{-1}^1{u}_n^{(n-1)}(x)u_n^{(n+1)}(x)dx\right) \\ =\frac{(-1{)}^n}{(2^{n}n!{)}^2}{\int }_{-1}^1{u}_n(x)u_n^{(2n)}(x)dx \end{gathered}$$
由于$u_n$最高次项为$x^{2n}$，$u_n^{(2n)}(x)=(2n)!$。令 $I_n={\int }_{-1}^1{u}_n(x)dx$，使用分部积分：
$$I_n=x{u}_n{|}_{-1}^1-2n{\int }_{-1}^1{x}^2(x^2-1{)}^{n-1}dx=-2n{I}_n-2n{I}_{n-1}$$
移项，并重复这一步骤，可得：
$$I_n=\frac{(-1{)}^n{\prod }_{k=1}^n(2k)}{{\prod }_{k=1}^n(2k+1)}{I}_0$$
而$I_0=2$,于是，勒让德多项式模为：
$$\Vert P_0{\Vert }_{L^2}=\sqrt{\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(2^{n}n!{)}^2}\frac{2(-1{)}^n{\prod }_{k=1}^n(2k)}{{\prod }_{k=1}^n(2k+1)}}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}$$
归一化的勒让德多项式即为：
$$Q_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}{P}_n$$

应用

由维尔斯特拉斯定理，任意闭区间上连续函数$f$可用某一多项式逼近，而这一多项式就可表示为勒让德多项式之和：
$$p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }⟨Q_n,f⟩Q_n$$

与泰勒展开不同，这里未假设连续函数$f$可导。
作为例子，设
$$f(x)=tri(2x-1),x\in [-1,1]$$
将该函数展开到不同阶，如图所示

代码如下：

x=-1:.01:1;
len=length(x);
f_0=@f0;
coef(f_0,0)
subplot(3,1,1)
p_n=zeros(1,len);
for n=0:3p_n=p_n+coef(f_0,n)*Q(x,n,0);
end
plot(x,f0(x),x,p_n),axis([-1,1,-0.2,1.1])
ylabel('p_3(x)')subplot(3,1,2)
for n=4:8p_n=p_n+coef(f_0,n)*Q(x,n,0);
end
plot(x,f0(x),x,p_n),axis([-1,1,-0.2,1.1])
ylabel('p_{8}(x)')subplot(3,1,3)
for n=9:40p_n=p_n+coef(f_0,n)*Q(x,n,0);
end
plot(x,f0(x),x,p_n),axis([-1,1,-0.2,1.1])
ylabel('p_{40}(x)')
xlabel('x')function f=f0(x)
n=length(x);
temp=zeros(1,n);
for i=1:n
if x(i)>0&&x(i)<1temp(i)=1-abs(2*(x(i)-1/2));
end
end
f=temp;
endfunction f=coef(f0,n)
p_f0=@(x)(f0(x).*Q(x,n,0));
f=integral(p_f0,-1,1);
endfunction f=Q(x,n,m)
temp=legendre(n,x);
f=sqrt((2*n+1)/2)*temp(m+1,:);
end

在求解电磁波散射问题时，就可以在球坐标下将入射场展开为勒让德多项式，并将散射场展开而其系数待定，再通过边界条件求得散射场展开系数。

参考：汪德新，数学物理方法