傅里叶级数与傅里叶变换_Part1_三角函数系的正交性

参考链接：
DR_CAN老师的原视频

0、复习Part0的内容

参考链接：傅里叶级数与傅里叶变换_Part0_欧拉公式证明+三角函数和差公式证明
三角函数的和差公式如下
$\begin{array}{l} \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\\ \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 3 \right)\\ \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 4 \right) \end{array}$

根据三角函数的和差公式，我们推导出积化和差的公式
(1)+(2)可得 $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = 2\sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right)\Rightarrow \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]$
(1)-(2)可得 $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = 2\cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right)\Rightarrow \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]$
(3)+(4)可得 $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = 2\cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) \Rightarrow \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]$
(4)- (3)可得 $\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 2\sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) \Rightarrow \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]$

1、什么叫正交

下面介绍一下正交性，正交有另一个说法叫垂直
首先来看一个在二维平面两个垂直的向量 $\vec a,\vec b$ 它们是相互垂直的，夹角 $\varphi = {90^o}$

在这里插入图片描述
我们来求 $\vec a,\vec b$ 两个向量的内积， $\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \varphi = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos {90^o} = 0$
结论：两个向量如果正交的话，它们的内积就等于0
我们把 $\vec a,\vec b$ 用向量的方式表达出来，比如 $\vec a = \left( {2,1} \right),\vec b = \left( { - 1,2} \right)$ 。

在这里插入图片描述
$\vec a \cdot \vec b = \left( {2,1} \right)\left( { - 1,2} \right) = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 2 = 0$

假设我们 $\vec a,\vec b$ 存在3个元素，比如 $\vec a = \left( {1,2,5} \right),\vec b = \left( {1,2, - 1} \right) \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = 1 \times 1 + 2 \times 2 + 5 \times \left( { - 1} \right) = 0$ ，那么仍然是正交的。

假设我们 $\vec a,\vec b$ 存在n个元素， $\vec a = \left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right),\vec b = \left( {{b_1},{b_2}, \cdots ,{b_n}} \right)$ ，如果 $\vec a \cdot \vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + \cdots + {a_n}{b_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} = 0$ ，那么 $\vec a,\vec b$ 也是正交的。
再进一步拓展，如果 $f\left( x \right),b = g\left( x \right)$

在这里插入图片描述
这时，如果我们一一对应的把这两函数的相乘👇

然后在一个区间内，比如从 ${x_0}$ 到 ${x_1}$ 把这些乘积加起来👇

由于函数是连续了，相加就变成了积分 👇

$\cdot b = \int_{{x_0}}^{{x_1}} {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)dx}$ ,如果当两个函数 $a$ 和 $b$ 满足: $\cdot b = \int_{{x_0}}^{{x_1}} {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)dx} = 0$ ,那么我们就说两个函数正交。

2、三角函数系

下面介绍三角函数系（它也是一个集合）
这个1看起来比较突兀，它实际上是实际上 $\cos 0x$ ，它前面还有一个0，对应 $\sin 0x$ ，即
$\left\{ {\sin 0x = 0,\cos 0x = 1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x, \cdots ,\sin nx,\cos nx, \cdots , \cdots } \right\}$
这样看来这个集合就是个 $\sin nx$ 和 $\cos nx$ 的集合，其中 $\cdots$
我们说三角函数系，它具有正交性，什么意思呢？就是如果我们取一个积分，从 $\pi$ 到 $\pi$ 之间，从三角函数系中任取两个不同的项来相乘。即
$\left\{ \begin{array}{l} \int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \cos mx} dx = 0,n \ne m{\rm{ }}\left( {\rm{1}} \right)\\\\ \int_{ - \pi }^\pi {\cos nx \cdot \cos mx} dx = 0,n \ne m{\rm{ }}\left( {\rm{2}} \right)\\\\ \int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \sin mx} dx = 0,n \ne m{\rm{ }}\left( {\rm{3}} \right) \end{array} \right.$
在后面的Part中，会用到这个结论
下面对上式三个式子一一证明。
根据最开始提到的积化和差的公式，【😏知道我为啥开始Part0要复习三角函数的和差公式与和差化积公式了吧？】
$\begin{array}{l} \int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \cos mx} dx\\\\ = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {n + m} \right)x + \sin \left( {n - m} \right)x} \right]} dx\\\\ = \frac{1}{2}\left[ {\int_{ - \pi }^\pi {\sin \left( {n + m} \right)x} dx + \int_{ - \pi }^\pi {\sin \left( {n - m} \right)x} dx} \right]\\\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{n + m}}\left[ { - \cos \left( {n + m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi + \frac{1}{{n - m}}\left[ { - \cos \left( {n - m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi } \right] \end{array}$

∵ $\cos x$ 是个偶函数。

∴ $\cos \left( {n + m} \right) \cdot \pi = \cos \left( {n + m} \right) \cdot \left( { - \pi } \right),\cos \left( {n - m} \right) \cdot \pi = \cos \left( {n - m} \right) \cdot \left( { - \pi } \right)$

∴ $\frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{n + m}}\left[ { - \cos \left( {n + m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi + \frac{1}{{n - m}}\left[ { - \cos \left( {n - m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi } \right] = \frac{1}{2}\left[ {0 + 0} \right] = 0$

即 $\int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \cos mx} dx = 0,n \ne m$ （1）式证毕。

继续证明（2）式
$\begin{array}{l} \int_{ - \pi }^\pi {\cos nx \cdot \cos mx} dx\\\\ = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {n + m} \right)x + \cos \left( {n - m} \right)x} \right]} dx\\\\ = \frac{1}{2}\left[ {\int_{ - \pi }^\pi {\cos \left( {n + m} \right)x} dx + \int_{ - \pi }^\pi {\cos \left( {n - m} \right)x} dx} \right]\\\\ = \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\frac{1}{{n + m}}\sin \left( {n + m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi + \left[ {\frac{1}{{n - m}}\sin \left( {n - m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi } \right\} \end{array}$

∵ $\sin \left( {k\pi } \right) = \sin \left( { - k\pi } \right) = 0$

∴ $\frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\frac{1}{{n + m}}\sin \left( {n + m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi + \left[ {\frac{1}{{n - m}}\sin \left( {n - m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi } \right\} = \frac{1}{2}\left( {0 + 0} \right) = 0$

即 $\int_{ - \pi }^\pi {\cos nx \cdot \cos mx} dx = 0,n \ne m$ （2）式证毕。

继续证明（3）式，【多说一句，（3）式和（2）式其实差不多】

$\begin{array}{l} \int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \sin mx} dx\\\\ = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {n - m} \right)x - \cos \left( {n + m} \right)x} \right]} dx\\\\ = \frac{1}{2}\left[ {\int_{ - \pi }^\pi {\cos \left( {n - m} \right)x} dx - \int_{ - \pi }^\pi {\cos \left( {n + m} \right)x} dx} \right]\\\\ = \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\frac{1}{{n - m}}\sin \left( {n - m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi - \left[ {\frac{1}{{n + m}}\sin \left( {n + m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi } \right\} \end{array}$

∵ $\sin \left( {k\pi } \right) = \sin \left( { - k\pi } \right) = 0$

∴ $\frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\frac{1}{{n - m}}\sin \left( {n - m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi - \left[ {\frac{1}{{n + m}}\sin \left( {n + m} \right)x} \right]|_{ - \pi }^\pi } \right\} = \frac{1}{2}\left( {0 - 0} \right) = 0$

即 $\int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \sin mx} dx = 0,n \ne m$ （3）式证毕。

下面看一下当 $n = m$ 时，上述三式的情况。
$\int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \cos mx} dx = \int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \cos nx} dx = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}\sin 2nx} dx = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{{2n}}\cos 2nx} \right)\left| {_{ - \pi }^\pi } \right. = 0$

$\int_{ - \pi }^\pi {\cos nx \cdot \cos mx} dx = \int_{ - \pi }^\pi {{{\left( {\cos nx} \right)}^2}} dx = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}} \left( {1 + \cos 2nx} \right)dx = \frac{1}{2}x\left| {_{ - \pi }^\pi } \right. + \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{{2n}}\sin 2nx} \right)\left| {_{ - \pi }^\pi } \right. = \pi + 0 = \pi$

$\int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \sin mx} dx = \int_{ - \pi }^\pi {{{\left( {\sin nx} \right)}^2}} dx = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}} \left( {1 - \cos 2nx} \right)dx = \frac{1}{2}x\left| {_{ - \pi }^\pi } \right. - \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{{2n}}\sin 2nx} \right)\left| {_{ - \pi }^\pi } \right. = \pi - 0 = \pi$

3、总结

更正结论
$\left\{ \begin{array}{l} \int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \cos mx} dx = 0{\rm{ }}\left( {\rm{1}} \right)\\\\ \int_{ - \pi }^\pi {\cos nx \cdot \cos mx} dx = 0,n \ne m{\rm{ }}\left( {\rm{2}} \right)\\\\ \int_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \sin mx} dx = 0,n \ne m{\rm{ }}\left( {\rm{3}} \right) \end{array} \right.$