拉盖尔多项式的正交性

article/2025/7/23 14:47:13

标准拉盖尔多项式

拉盖尔多项式可以表示为：

$\large L_n(x)=e^x\large \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})$

拉盖尔多项式的正交性是指

$\large \int_0^{\infty}e^{-x} L_n(x)L_m(x)dx = \delta_{nm}(n!m!)$

当 $m\neq n, (m,n=0,1,2,\cdots)$ 时上式的积分运算结果为0。这是一种加权的正交性。

证明：

(1) 采用变换

$\large \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})dx= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^ne^{-x})$

容易得到,当 $n\ge 1$

$\large \begin{align*} \int_0^{\infty}e^{-x} L_n(x)dx &= \int_0^{\infty}\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})dx \\&= \int_0^{\infty}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^ne^{-x})\\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^ne^{-x})|_0^{\infty}=0\end{align}$

上式的结果为0是因为在进行微分运算后，各项均包含 $\large e^{-x}x^k, (k\ge 1)$ , 各项的上下限均为0。

（2）采用分部积分

$\large \begin{align*} \int_0^{\infty}e^{-x} x^mL_n(x)dx &= \int_0^{\infty}x^m\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})dx \\&= \int_0^{\infty}x^m\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^ne^{-x})\\ &=0-m\int x^{m-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^ne^{-x})dx\\&=(-1)^mm!\int \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^ne^{-x})dx\end{align*}$

根据（1), 当 $m < n$ ，上式的积分结果为0。

（3）考虑到

$L_m(x) =\sum _{k=0}^m\binom{m}{k}(-1)^k x^{m-k}$

当 $m < n$ ，上式每一项幂次都小于 n，根据（2），

$\int_0^{\infty}e^{-x} L_m(x)L_n(x)dx ={(-1)^k}\sum _{k=0}^m \binom{m}{k}\int_0^{\infty}x^k\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})dx = 0$

当 $m=n$

$\large \begin{align*} \int_0^{\infty}e^{-x} L_n(x)L_n(x)dx &={(-1)^n} \int_0^{\infty}x^n\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})dx\\& = {(-1)^{2n}}n!\int_0^{\infty} x^ne^{-x}dx \\&=(n!)^2 \end{align*}$

这样就证明了拉盖尔多项式的正交性。 $\large \star$

通过归一化，构成正交基：

$\large \frac{L_n(x)}{n!}=\frac{e^x}{n!}\large \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x}), n=0,1,\cdots$

广义拉盖尔多项式

广义拉盖尔多项式可以表示为：

$\large \large L_n^a(x)=\frac{1}{n!}e^xx^{-a}\large \frac{d^n}{dx^n}(x^{a+n}e^{-x})$

广义拉盖尔多项式的正交性是指

$\large \int_0^{\infty}e^{-x} x^aL_n^a(x)L_m^a(x)dx = \delta_{nm}\cdot\frac{(a+n)!)}{n!}$

当 $m\neq n, (m,n=0,1,2,\cdots)$ 时上式的积分运算结果为0。这是一种加权的正交性。

证明：

(1) 采用变换

$\large \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})dx= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^ne^{-x})$

容易得到,当 $n\ge 1$

$\large \begin{align*} n!\cdot\int_0^{\infty}e^{-x} x^{a}L_n^a(x)dx &= \int_0^{\infty}\frac{d^n}{dx^n}(x^{a+n}e^{-x})dx \\&= \int_0^{\infty}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{a+n}e^{-x})\\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{a+n}e^{-x})|_0^{\infty}=0\end{align}$

上式的结果为0是因为在进行微分运算后，各项均包含 $\large e^{-x}x^k, (k\ge 1)$ , 各项的上下限均为0。

（2）采用分部积分

$\large \begin{align*} n!\cdot\int_0^{\infty}e^{-x} x^ax^mL_n^a(x)dx &= \int_0^{\infty}x^m\frac{d^n}{dx^n}(x^{a+n}e^{-x})dx \\&= \int_0^{\infty}x^m\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{a+n}e^{-x})\\ &=0-m\int x^{m-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{a+n}e^{-x})dx\\&=(-1)^mm!\int \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^{a+n}e^{-x})dx\end{align*}$

根据（1), 当 $m < n$ ，上式的积分结果为0。

（3）考虑到

$\large m!\cdot L_m^a(x) =x^{-a}\sum _{k=0}^m\binom{m}{k}(-1)^k x^{a+m-k} =\sum _{k=0}^m\binom{m}{k}(-1)^k x^{m-k}$

当 $m < n$ ，上式每一项幂次都小于 n，根据（2），

$\int_0^{\infty}e^{-x} x^aL_m^a(x)L_n^a(x)dx =\frac{(-1)^k}{m!n!}\sum _{k=0}^m \binom{m}{k}\int_0^{\infty}x^k\frac{d^n}{dx^n}(x^{a+n}e^{-x})dx = 0$

当 $m=n$

$\large \begin{align*} \int_0^{\infty}e^{-x}x^a L_n^a(x)L_n^a(x)dx &=\frac{(-1)^n}{n!n!} \int_0^{\infty}x^{n}\frac{d^n}{dx^n}(x^{a+n}e^{-x})dx\\& = \frac{(-1)^{2n}}{n!}\int_0^{\infty} x^{a+n}e^{-x}dx \\&=\frac{(a+n)!}{n!} \end{align*}$