本文引用与百度百科。

简介

导数（英语：Derivative）是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数 f 的自变量在一点 x0 上产生一个增量 h 时，函数输出值的增量与自变量增量 h 的比值在 h 趋于0时的极限如果存在，即为 f 在 x0 处的导数。

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

定义

一般定义

几何意义

性质

单调性

一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性

定理：设 f(x) 在 [a,b] 上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么：

（1）若在(a,b)内 f'(x)>0,则 f(x)在[a,b]上的图形单调递增；

（2）若在(a,b)内 f’(x)<0,则 f(x)在[a,b]上的图形单调递减；

（3）若在(a,b)内 f'(x)=0,则 f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。

在右图可以直观的看出：函数的导数就是一点上的切线的斜率。当函数单调递增时，斜率为正，函数单调递减时，斜率为负。

导数与微分

微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。

可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在实数域上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数 f 在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。

可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

例子

关于导数的概念，这里也有很好的介绍，来自维基百科。导数