方向导数

定理

• 若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微，沿任意方向l的方向导数
• $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$
• 其中$\alpha ,\beta ,\gamma$ 为l的方向角
• 证明
  • 由函数$f(x,y,z)$在点P可微
  • $△f=\frac{\partial f}{\partial x}△x+\frac{\partial f}{\partial y}△y+\frac{\partial f}{\partial z}△z+o(\rho )$
  • $=\rho (\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma )+o(\rho )$
  • $\frac{\partial f}{\partial l}={\lim }_{\rho \to 0}\frac{△f}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$

• 对于二元函数f(x,y)在点P(x,y)处沿着方向l(方向角为$\alpha ,\beta$)的方向导数为
• $\frac{\partial f}{\partial l}={\lim }_{\rho \to 0}\frac{f(x+△x,y+△y)-f(x,y)}{\rho }=f_x^{\prime }(x,y)cos\alpha +f_y^{\prime }(x,y)cos\beta$
  • $\rho =\sqrt{(△x{)}^2+(△y{)}^2}$
  • $△x=\rho cos\alpha$
  • $△y=\rho cos\beta$
• 特别地
  • l与x轴同向($\alpha =0,\beta =\frac{\pi }{2}$)时，有$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}$
  • l与x轴反向($\alpha =\pi ,\beta =\frac{\pi }{2}$)时，有$\frac{\partial f}{\partial l}=-\frac{\partial f}{\partial x}$

方向导数

• 方向导数(directional derivative): 有时不仅仅需要知道函数在坐标轴上的变化率(即偏导数)，还需要设法求得函数在其他特定方向上的变化率；
• 而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
• 如果函数$z=f(x,y)$在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿着任意方向L的方向导数都存在
• 且计算公式为：$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta$

例1

• 求函数$u=x^{2}yz$ 在点P(1,1,1)沿向量 $\vec{l}=(2,-1,3)$的方向导数.
• $\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial u}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial u}{\partial z}cos\gamma$
• 解
  • 向量$\vec{l}$的方向余弦为: $cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{14}},\cos \beta =\frac{-1}{\sqrt{14}},cos\gamma =\frac{3}{\sqrt{14}}$
  • ${\frac{\partial u}{\partial l}|}_P={(2xyz\ast \frac{2}{\sqrt{14}})-x^{2}z\ast \frac{1}{\sqrt{14}}+x^{2}y\ast \frac{3}{\sqrt{14}}|}_{(1,1,1)}=\frac{6}{\sqrt{14}}$

例2

• 求函数$z=x{e}^{2y}$在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2, -1)的方向的方向导数
• 解
  • 方向l即向量$PQ=(1,-1)$的方向，与l同方向的单位向量$e_l=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}).=(cos\alpha ,cos\beta )$
  • 因函数可微，且${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(1,0)}={e^{2y}|}_{(1,0)}=1,{\frac{\partial z}{\partial y}|}_{(1,0)}={2x{e}^{2y}|}_{(1,0)}=2$
  • 所以，所求方向导数为：${\frac{\partial z}{\partial l}|}_{(1,0)}=1\ast \frac{1}{\sqrt{2}}+2\ast (-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

例3

• 求$f(x,y,z)=xy+yz+zx$ 在点(1,1,2)沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为：60°, 45°, 60°
• 解：
  • 与l同方向的单位向量 $e_l=(cos60°,cos45°,cos60°)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$
  • 因函数可微，且
    • $f_x^{\prime }(1,1,2)=(y+z){|}_{(1,1,2)}=3$
    • $f_y^{\prime }(1,1,2)=(x+z){|}_{(1,1,2)}=3$
    • $f_z^{\prime }(1,1,2)=(y+x){|}_{(1,1,2)}=2$
  • 所以$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(1,1,2)}=3\ast \frac{1}{2}+3\ast \frac{\sqrt{2}}{2}+2\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3\sqrt{2})$

梯度

1 ） 概念

• 在空间的每一个点都可以确定无限多个方向，因此，一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数.
• 在这无限多个方向导数中，最大的一个(它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少? 它是沿什么方向达到的?
• 描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量，就是我们所讨论的梯度.
• 梯度是场论里的一个基本概念.所谓"场", 它表示空间区域上某种物理量的一种分布
• 从数学上看，这种分布常常表示为 $\Omega$ 上的一种数值函数或向量函数
• 能表示为数值函数u=u(x,y,z)的场，称为数量场，如温度场、密度场等

2 ) 方向导数公式

• $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$
  • 令向量 $\vec{G}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$
  • $\overrightarrow{l°}=(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )$
• $\frac{\partial f}{\partial l}=\vec{G}\cdot \overrightarrow{l°}=|\vec{G}|cos(\vec{G},\overrightarrow{l°})(|\overrightarrow{l°}|=1)$
• 当$\overrightarrow{l°}$与$\vec{G}$方向一致时，方向导数取最大值：$max(\frac{\partial f}{\partial l})=|\vec{G}|$
• 可见：$\vec{G}$
  • 方向：f 变化率最大的方向
  • 模：f 的最大变化率之值

3 ) 梯度定义

• 向量$\vec{G}$：称为函数$f(P)$在点P处的梯度(gradient), 记做：grad f
• 即 $gradf=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$
• 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 $gradf=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$
• 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影
• $\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$, 引用记号，称为奈布拉(Nebla)算符，或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子
• 则梯度可记为：$gradf=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\nabla f$
  • 函数f沿梯度grad f方向，增加最快(上升)
  • 函数f沿负梯度 -grad f方向，减小最快(下降)
• $gradf(x_0,y_0)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)i+f_y^{\prime }(x_0,y_0)j)$
  • 或 $\nabla f(x_0,y_0)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)i+f_y^{\prime }(x_0,y_0)j=f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$
• $gradf=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$
  • 或 ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = { f x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) } = f x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) i + f y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) j + f z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) k \nabla f(x_0, y_0, z_0) = \{f_x'(x_0, y_0, z_0), f_y'(x_0, y_0, z_0), f_z'(x_0, y_0, z_0)\} = f_x'(x_0, y_0, z_0)i + f_y'(x_0, y_0, z_0)j + f_z'(x_0, y_0, z_0)k ∇f(x0​,y0​,z0​)={fx′​(x0​,y0​,z0​),fy′​(x0​,y0​,z0​),fz′​(x0​,y0​,z0​)}=fx′​(x0​,y0​,z0​)i+fy′​(x0​,y0​,z0​)j+fz′​(x0​,y0​,z0​)k

说明

• 以三元函数为例，设$u=f(x,y,z)$在点P(x,y,z)处可微分，则函数在该点的梯度为 $gradf=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(\frac{\partial (f)}{\partial (x,y,z)})$
• 梯度是函数$u=f(x,y,z)$在点P处取得的最大方向导数的方向，最大方向导数为：$|gradf|=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial z}{)}^2}$
• 函数$u=f(x,y,z)$在点P处沿方向$\vec{l}$的方向导数：$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=gradf\cdot \overrightarrow{l°}=\nabla f\cdot \overrightarrow{l°}$

例1

• 求$grad\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
• 解：
  • 这里$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$
  • 因 $\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2x}{(x^2+y^2{)}^2},\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2y}{(x^2+y^2{)}^2}$
  • 所以，$grad\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\frac{2x}{(x^2+y^2{)}^2}\vec{i}-\frac{2y}{(x^2+y^2{)}^2}\vec{j}$

例2

• 设$f(x,y,z)=x^3-x{y}^2-z$, $p(1,1,0)$.
• 问f(x,y,z)在p处沿什么方向变化最快，在这方向的变化率是多少?
• 解
  • $\nabla f=f_x^{\prime }i+f_y^{\prime }j+f_z^{\prime }k=(3x^2-y^2)i-2xyj-k$
  • $\nabla f(1,1,0)=2i-2j-k$
  • 沿 $\nabla f(1,1,0)$ 方向，增加最快(上升)
  • 沿 $-\nabla f(1,1,0)$ 方向，增加最快(下降)
  • m a x { ∂ f ∂ l ∣ p } = ∣ g r a d f ∣ = ∣ ∇ f ( 1 , 1 , 0 ) ∣ = 3 max\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = |grad \ f| = |\nabla f(1,1,0)| = 3 max{∂l∂f​∣p​}=∣grad f∣=∣∇f(1,1,0)∣=3
  • m i n { ∂ f ∂ l ∣ p } = − ∣ g r a d f ∣ = − ∣ ∇ f ( 1 , 1 , 0 ) ∣ = − 3 min\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = -|grad \ f| = -|\nabla f(1,1,0)| = -3 min{∂l∂f​∣p​}=−∣grad f∣=−∣∇f(1,1,0)∣=−3