python实现之导数

article/2025/8/22 1:43:41

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

法线（normal line），是指始终垂直于某平面的直线。在几何学中，法线指平面上垂直于曲线在某点的切线的一条线。法线也应用于光学的平面镜反射上。

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
#                     _ooOoo_
#                   o8888888o
#                    88" . "88
#                 ( | -  _  - | )
#                     O\ = /O
#                 ____/`---'\____
#                  .' \\| |// `.
#                 / \\|||:|||// \
#               / _|||||-:- |||||- \
#                | | \\\ - /// | |
#              | \_| ''\---/'' | _/ |
#               \ .-\__ `-` ___/-. /
#            ___`. .' /--.--\ `. . __
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#       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | |
#          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / /
#      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==
#                     `=---='
'''
@Project ：pythonalgorithms 
@File ：derivatives.py
@Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/8/1 0:17 
'''
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
import sympy
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist  # 导入坐标轴加工模块if __name__ == '__main__':quadraticderivativeplot()exponentialderivativeplot()arccscderivativeplot()

# 导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。
# 当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
# 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
# 若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
def quadraticderivativeplot():plt.figure(figsize=(5, 12))ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号x = np.linspace(-2, 2, 200)y = x ** 2label = '函数=x**2的曲线'plt.plot(x, y, label=label)yd = 2 * xlabel = '导数线=2*x的曲线'plt.plot(x, yd, label=label)a = 1ad = a ** 2plt.plot(a, ad, 'og', label='x=1的某个点')# y=ax+b,已知a=2,x=1,y=1，求bb = ad - 2 * a# 准备画切线的数据al = np.linspace(-2, 2, 200)yl = 2 * al + blabel = 'x=1的切线'plt.plot(al, yl, label=label)# 准备画法线的数据，切线斜率=法线斜率的负数b = ad + 2 * aal = np.linspace(-2, 2, 200)yl = -2 * al + blabel = 'x=1的法线'plt.plot(al, yl, label=label)# 求导函数x = sympy.Symbol('x')f1 = x ** 2# 参数是函数与变量f1_ = sympy.diff(f1, x)print(f1_)# 设置图片的右边框和上边框为不显示ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')# 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置# data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))# axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置# ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))ax.spines['left'].set_position(('data', 0))plt.title("二次函数、导数曲线及某点的法线、切线")plt.legend(loc='upper right')plt.show()

# 指数函数的导数
# 指数函数 y=a**x
# 指数函数的导数为 y=a**x*ln(a)
def exponentialderivativeplot():plt.figure(figsize=(5, 12))ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号a = 2x = np.linspace(-2, 2, 200)y = np.power(a, x)yd = np.power(a, x) * np.log(a)label = '函数=a**x的曲线'plt.plot(x, y, label=label)label = '导数线=a**x的曲线'plt.plot(x, yd, label=label)xpoint = 1ypoint = np.power(a, xpoint)plt.plot(xpoint, ypoint, 'og', label='x=1的某个点')# 斜率slope=导数，求截距interceptslope = math.pow(a, xpoint) * math.log(a, np.e)# y=ax+b,已知a,x,y，求bintercept = ypoint - slope * xpoint# 准备画切线的数据yl = x * slope + intercept# print(slope,intercept,yl)label = 'x=1的切线'plt.plot(x, yl, label=label)# 准备画法线的数据，切线斜率=法线斜率的负数# y=ax+b,已知x,y,-a,求bintercept = ypoint + slope * xpointyl = -x * slope + interceptlabel = 'x=1的法线'plt.plot(x, yl, label=label)# # 求导函数# x = sympy.Symbol('x')# f1 = x**2# # 参数是函数与变量# f1_ = sympy.diff(f1, x)# print(f1_)# 设置图片的右边框和上边框为不显示ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')# 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置# data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))# axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置# ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))ax.spines['left'].set_position(('data', 0))plt.title("指数函数、导数曲线及某点的法线、切线")plt.legend(loc='upper right')plt.show()

# 常用导数公式表如下：#
# c'=0(c为常数）
# (x^a)'=ax^(a-1),a为常数且a≠0
# (a^x)'=a^xlna
# (e^x)'=e^x#
# (logax)'=1/(xlna),a>0且 a≠1
# (lnx)'=1/x
# (sinx)'=cosx
# (cosx)'=-sinx
# (tanx)'=(secx)^2
# (secx)'=secxtanx
# (cotx)'=-(cscx)^2
# (cscx)'=-csxcotx
# (arcsinx)'=1/√(1-x^2)
# (arccosx)'=-1/√(1-x^2)
# (arctanx)'=1/(1+x^2)
# (arccotx)'=-1/(1+x^2)
# arcsinx函数的导数
# arcsinx函数
# arcsinx函数的导数为 1/√(1-x^2)
def arccscderivativeplot():plt.figure(figsize=(10, 5))ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号x = np.append(np.linspace(0.01, np.pi / 2 - 0.01, 120),np.linspace(np.pi / 2 + 0.01, np.pi - 0.01, 120))y = 1 / np.cos(x)# 正割函数 sec(x)=1/cos(x)# 反正割函数 颠倒x,y值即可label = '函数为np.arcsecx(x)的曲线'plt.plot(y, x, label=label)x = np.linspace(-0.99, 0.99, 120)yd = 1 / np.sqrt(1 - np.power(x, 2))label = '导数线为np.arcsecx(x)的曲线'plt.plot(x, yd, label=label)# 设置图片的右边框和上边框为不显示ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')# 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置# data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))# axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置# ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))ax.spines['left'].set_position(('data', 0))plt.title("arcsin函数、导数曲线")plt.legend(loc='upper right')plt.show()