3 数值导数

根据导数的定义，当函数的定义域不连续时，其不连续处显然是不存在导数的，但图形可以“欺骗”我们的眼睛。

> x = seq(-1,1,0.1)
> y = sin(x)
> y1 = cos(x)
> xEnd = x+0.1
> yEnd = y+y1*0.1
> plot(x,y)
> for(i in seq_along(x)){
+ lines(c(x[i],xEnd[i]),c(y[i],yEnd[i]),col="red")
+ }

上图中，圆圈是对$y=\sin x$进行抽样的结果，可以理解为是一个不连续的函数；红线则是在每一个分立的点上，$\sin x$在该点的切线。这两者看上去如此一致，说明连续函数的导数在抽样之后仍然具备一定的数学意义。

相应地，不连续的函数，也应该有类似于导数一样的存在，从而与连续函数的导数相对应，此即数值导数。如果回顾导数的定义

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

当$\Delta x\nrightarrow 0$时，即可理解为数值导数。

假设现在对某个函数$f(x)$进行等间隔抽样，间隔为$h$，则其第$n$个点处的数值导数为

$$f[x_n]=\frac{f(x_{n+1})-f(x_n)}{x_{n+1}-x_n}=\frac{f(x_n+h)-f(x_n)}{h}$$

由于一般称$f(x_{n+1})-f(x_n)$为差分，则数值导数是$f(x)$的差分与$x$的差分的商，所以也叫差商。

仍以$\sin x$为例，假设在$[-5,5]$区间内分别以0.1，0.5，1为间隔，算其差商，然后和其导数$\cos x$相对比。

x = seq(-5,5,0.1)
y = cos(x)
x1 = seq(-5,5,0.1)
end = length(x1)
y1 = (sin(x1[2:end])-sin(x1[1:end-1]))/0.1
x5 = seq(-5,5,0.5)
end = length(x5)
y5 = (sin(x5[2:end])-sin(x5[1:end-1]))/0.5
x10 = seq(-5,5,1)
end = length(x10)
y10 = (sin(x10[2:end])-sin(x10[1:end-1]))/0.5
plot(x,y,type="l",col="red")
lines(x1[2:length(x1)],y1)
lines(x5[2:length(x5)],y5)
lines(x10[2:length(x10)],y10)

如图所示

由于我们采用的是后向差分，所以三组差商的值整体右移。此外，随着$h$的增大，其误差也越来越明显。

对一个函数进行反复求导，即可得到高阶导数，可以用数学归纳法的方式记为

f ( n ) ( x ) = { f ( n − 1 ) ( x ) } ′ f ( 1 ) ( x ) = f ′ ( x ) \begin{aligned} f^{(n)}(x)&=\{f^{(n-1)}(x)\}'\\ f^{(1)}(x)&=f'(x) \end{aligned} f(n)(x)f(1)(x)​={f(n−1)(x)}′=f′(x)​

差商亦然，可以记为

f ( n ) [ x ] = { f ( n − 1 ) [ x ] } ′ f ( 1 ) [ x ] = f [ x ] \begin{aligned} f^{(n)}[x]&=\{f^{(n-1)}[x]\}'\\ f^{(1)}[x]&=f[x] \end{aligned} f(n)[x]f(1)[x]​={f(n−1)[x]}′=f[x]​

但与导数不同之处在于，差商可以更加方便地进行递推，例如

$$\begin{array}{rl}{f}^{(2)}[x]& =\frac{f[x+h]-f[x]}{h}\\ & =\frac{\frac{f[x+2h]-f[x+h]}{h}-\frac{f[x+h]-f[x]}{h}}{h}\\ & =\frac{f[x+2h]-2f[x+h]+f[x]}{h^2}\end{array}$$