函数的和、差、积、商的求导法则

u=u(x),v=v(x)

(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'

(Cu)'=Cu'

(uv)'=u'v+uv'

(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

复合函数求导法则

y=f(u)，u=φ(v)

复合函数y=f[φ(v)]的导数为

dy/dx=dy/du*du/dx=f'(u)*φ'(v)

(u-v+z)'=u'-v'+z'，且(Cu)'=Cu'

exam1:

y =2*x*^3 -5*x^2+3*x-7

y'=6*x^2-10x+3+0

exam2:

f(x)=x^3+4cosx-sin(π/2)

f'(x)=(x^3)‘+(4cosx)‘-(sin(π/2))‘=3x^2-4sinx-0

f'(π/2)=f'(x)|x=(π/2)=3x^2-4sinx=3*(π/2)^2-4sin(π/2)=3/4π^2-4

exam3:

y=√x*lnx

y'=(√x)'*lnx+√x*(lnx)'=1/(2*√x)*lnx+√x*1/x=1/(√x)*(1/2*lnx+1)

exam4:

y=e^x(sinx+cosx)

y'=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)=2e^xcosx

高阶导数

y=f(x)

y'=f'(x)

y''=(y')'=d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)

导数的应用：函数单调性

通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点：

若导数大于0，则单调递增；

若导数小于0，则单调递减；

导数等于零d的点为函数驻点

曲线的凹凸性，设函数f(x) 在区间I 上有二阶导数

(1) 在 I 内 f''(x)>0则 f(x)在 I 内图形是凹的 ;

(2) 在 I 内 f''(x)<0则 f(x)在 I 内图形是凸的 .

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
#                     _ooOoo_
#                   o8888888o
#                    88" . "88
#                 ( | -  _  - | )
#                     O\ = /O
#                 ____/`---'\____
#                  .' \\| |// `.
#                 / \\|||:|||// \
#               / _|||||-:- |||||- \
#                | | \\\ - /// | |
#              | \_| ''\---/'' | _/ |
#               \ .-\__ `-` ___/-. /
#            ___`. .' /--.--\ `. . __
#         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"".
#       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | |
#          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / /
#      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==
#                     `=---='
'''
@Project ：pythonalgorithms 
@File ：Nderivatives.py
@Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/8/3 1:17 
'''
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
import sympyif __name__ == '__main__':nderivativeplot()

# f(x)=x^3+3x^2-24x-20
# f'(x)=3x^2+6x-24
# f''(x)=6x+6
def nderivativeplot():plt.figure(figsize=(5, 8))ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号x = np.linspace(-10,10, 200)y = np.power(x,3)+3*np.power(x,2)-24*x-20yd = 3*np.power(x,2)+6*x-24ydd=6*x+6label = '函数f(x)=x^3+3x^2-24x-20的曲线'plt.plot(x, y, label=label)label = "导数f'(x)=3x^2+6x-24的曲线"plt.plot(x, yd, label=label)label = "导数f''(x)=6x+6的曲线"plt.plot(x, ydd, label=label)# 设置图片的右边框和上边框为不显示ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')# 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置# data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))# axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置# ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))ax.spines['left'].set_position(('data', 0))plt.title("函数、一阶导数、二阶导数")plt.legend(loc='upper right')plt.show()