目录

一、多元函数的极限与连续

（1）多元函数的二重极限

1、证明函数的极限是否存在：

2、求多元函数的极限：

（2）多元函数的连续性

二、偏导数与全微分

三、多元复合函数的求导法则

 四、隐函数的求导公式

五、多元函数微分学的几何应用

（1）空间曲线的的切线与法平面

（2）曲面的切平面与法线 

六、方向导数与梯度

（1）方向导数：

 (2)  梯度：

七、多元函数的极值及其应用

1、极值的充分与必要条件

2、条件极值 拉格朗日乘数法

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一、多元函数的极限与连续

（1）多元函数的二重极限

1、证明函数的极限是否存在：

(1) 定义证明：与一重极限相似，x之间的距离无限逼近变为点（x，y）与聚点的距离无限逼近，

即当满足式子 0<<任意正数的任意点都有任意正数，

则A为，点趋近（x0，y0）时的极限（可以理解为一对点值的差距都无限小时，点逼近于点，值也逼近于值，并且各个方向都这样，那么极限存在）

（2）设y与x的函数证明极限不存在:由于在x，y平面内进行趋近，所以可以设y=kx，把y替代为x，算出结果来判断极限的结果如果与k有关，则极限不唯一，则不存在，反之与k无关也不能证明存在（因为可以沿着曲线接近，所以绝对不能用这个方法求极限）

2、求多元函数的极限：

（一重极限的求极限方法同样可以套用于二重极限，无非就是多了个自变量，把x和y看作一个整体变量z，合二为一即与一重极限求法一模一样）

（1）可以利用等价无穷小代换

例1、,xy相乘结果还是0，所以极限答案为1

（2）如果只含有xy这一类型变量可以设xy为t，根据x，y的趋近值求出t的趋近值后，化为一重极限来做

（3）可以利用夹逼定理 

（2）多元函数的连续性

1、趋于某个点的极限值等于那个点的函数值，则函数在这个点连续

2、有界闭区域D上的连续多元函数必能在d上最大值与最小值间的任何数

二、偏导数与全微分

1、几何意义上来看，求x的偏导数就是求对于x轴的倾角

2、可微的必要条件，函数的一阶偏导数连续（偏导数存在则原函数连续），则这个点可微（函数连续，才可以在这个点微分，导函数连续才可以利用公式求出微分的值，不然求不出就等于不可微）

3、可微充分条件，函数的偏导数在这个点连续（这样此点就不会是尖点，而是平滑的点，那就可以造出对应的切平面），则该点可微

4、全微分和一元函数微分的几何意义

 5、一元函数和多元函数可微，可导，连续之间的联系

（唯一不同的就是多元函数的可导推不出连续与可微，因为多元函数的可导是偏导，只有两个方向，而多元函数的连续与可微要求各个方向的导数存在，即一阶偏导数存在且原函数在这个点连续）

 

6、证明某点偏导数的存在

（1）如果是分段函数，不可以直接对方程求偏导，因为那个点不在函数定义域内，这时只能利用偏导数的定义来证明（即求极限来证明）

（2）如果不是分段函数，则直接对函数求偏导看偏导数是否有意义

7、可微的充分条件=二元函数的偏导数存在（偏导数仍然是关于点的函数）

例1 (3y)^y要化为e的指数形式来求导，3y不是整数

例2 利用全增量和全微分的差与x，y变化量之比的极限值是否为0来判断函数能否微分

 

例3 求函数的全微分

例1 （化至最简形式，显函数中的du与dv转为dx与dy）

 例2 （化至最简形式，隐函数中的dz转为dx与dy）

三、多元复合函数的求导法则

 1、抽象函数的二阶偏导数（函数的偏导数跟函数有一样的连接式）

例1 

例2 套娃的抽象函数求导

 四、隐函数的求导公式

1、求导公式:(互为负倒数，注意F（x,y,z）=0必须成绩不可以有F（x，y，z）=1去使用)

2、方程组情形：（分母由偏导数的系数组成，分子根据求的偏导数的分母在把那一列替换为方程右边的系数，偏导数的结果可以含有u与v不一定只有x与y）

3、不能利用公式求导的隐函数，直接对等式两边进行求导

例1 （求二阶导数，一阶可以用公式，二阶只能等式两边同时对x求导，在把一阶的结果代入得到最终的结果）

 例2

例3 抽象隐函数的求偏导

 4、雅克比行列式求解隐函数方程组

 

五、多元函数微分学的几何应用

（1）空间曲线的的切线与法平面

1、将曲线的x，y，z由t来表示或者由x来表示，求出这三个函数的导数，三个导数所形成的的向量即为曲线的方向向量（即x，y，z三方向的导数结合即为曲线主方向的导数，主方向的导数方向向量可以在三维坐标中被分解为3个方向，注意不可以是偏导数）

（方向向量也可以用，方程组求出的dx，dy，dz求）

（2）曲面的切平面与法线 

可以看出过曲面上一点M的所有切向量总是与向量n垂直，所以n为该点切面（这时是曲面而不是曲线所以是切面不止一条切线）的法向量

例1

 这题除了对x求导后利用雅克比行列式硬算出x，y，z的对x导数方程外，也可以利用两个切平面来表示两个曲面相交的点的切线（两面确一线）

六、方向导数与梯度

（1）方向导数：

1、可微则该点方向导数一定存在，方向导数公式为（方向导数即沿某一方向的距离变化率）

（由式可得，一点一方向确定一个方向导数） 

例1 （方向导数=方向余弦+偏导数向量，二者相乘得到值，所以方向导数是值）

（梯度=x，y，z三个方向的变化率，即偏导数向量，所以梯度是向量）

(2)  梯度：

梯度本身是一个向量，方向导数可以由梯度和单位向量的数量积表示(此时方向导数不是一个向量，所以符合）是梯度和方向向量的夹角，做题时常有0，π/2,π这三种特殊情况

(当梯度代表的导数向量和单位向量方向一致时，即这个方向是这个点方向导数变化最快的方向，即距离变化率最大的地方)

七、多元函数的极值及其应用

1、极值的充分与必要条件

可以用充分条件判断是否有极值，极值对应的点必定是驻点

例1

 例2 根据极限判断一点是否为极值点

2、条件极值 拉格朗日乘数法

1、拉格朗日乘数法：

1、当附加条件简单时，可以直接将原函数从二元函数换为1元函数求求导

 2、应用题的拉格朗日函数设法

3、拉格朗日函数法的约束条件