0.双因素方差分析的分类

• 无交互作用的方差分析
  假定因素$A$和因素$B$的效应之间是相互独立的，不存在相互关系。
• 有交互作用的方差分析
  假定因素$A$和因素$B$的结合会产生出一种新的效应。

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无交互作用的双因素方差分析

1.形式

假定要考察两个因素$A,B$对某项指标的影响，因素$A$取$s$个水平$A_1,A_2,\dots ,A_s$，因素$B$取$r$个水平$B_1,B_2,\dots ,B_r$，在$A,B$的每队组合水平$\left(A_i,B_j\right)$上作一次试验，试验结果为$X_{ij},i=1,\dots ,s;j=1,\dots ,r$。所有$X_{ij}$独立，数据列于下表:

因素	$B_1$	$B_2$	…	$B_s$
$A_1$	$X_{11}$	$X_{12}$	…	$X_{1s}$
$A_2$	$X_{21}$	$X_{22}$	…	$X_{2s}$
…	…	…	…	…
$A_r$	$X_{r1}$	$X_{r2}$	…	$X_{rs}$

2.前期工作

• 作出假设
  设搭配$\left(A_i,B_j\right)$下的试验结果为$X_{ij}$，假定$X_{ij}\sim N\left(a_{ij},{\sigma }^2\right)$，则问题归结为检验假设:
  $$\begin{array}{rl}& H_{0A}:a_{1j}=a_{2j}=\cdots =a_{jj},j=1,2,\cdots ,s\\ & H_{0B}:a_{i1}=a_{i2}=\cdots =a_{ir},i=1,2,\cdots ,r\end{array}$$
• 平方和分解
  与单因素方差分析类似地:
  $S_A$是由因素$A$的不同效应和随机误差引起的偏差
  $S_B$是由因素$B$的不同效应和随机误差引起的偏差
  $S_e$是由随机误差引起的偏差
  记:
  $$\begin{gathered} n=rs,{\bar{X}}_i=\frac{1}{s}\sum _{j=1}^s{X}_{ij},{\bar{X}}_{\cdot j}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{X}_{ij} \\ {T}_{i\cdot }=\sum _{j=1}^s{X}_{ij},T_{\cdot j}=\sum _{i=1}^r{X}_{ij} \\ \bar{X}=\frac{1}{rs}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{X}_{ij},T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{X}_{ij} \\ i=1,2,\cdots ,r;j=1,2,\cdots ,s \end{gathered}$$
  于是:
  $$\begin{gathered} S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{X}_{ij}^2-\frac{T^2}{rs},S_A=\frac{1}{s}\sum _{i=1}^r{T}_{i\cdot }^2-\frac{T^2}{rs} \\ {S}_B=\frac{1}{r}\sum _{j=1}^s{T}_{\cdot j}^2-\frac{T^2}{rs},S_e=S_T-S_A-S_B \end{gathered}$$

3.检验假设

比较$S_A$与$S_E$的值来检验假设$H_{0A}$
比较$S_B$与$S_E$的值来检验假设$H_{0B}$

• 定理
  $S_T,S_A,S_B$相互独立，且$\frac{1}{{\sigma }^2}{S}_e\sim {\chi }^2((s-1)(r-1))$
  当$H_{0A}$成立时，有:
  $$F_A=\frac{S_A/{\sigma }^2}{r-1}/\frac{S_e/{\sigma }^2}{(r-1)(s-1)}=\frac{(s-1)S_A}{S_e}\sim F(r-1,(r-1)(s-1))$$
  当$H_{0B}$成立时，有:
  $$F_B=\frac{S_B/{\sigma }^2}{s-1}/\frac{S_e/{\sigma }^2}{(r-1)(s-1)}=\frac{(r-1)S_A}{S_e}\sim F(s-1,(r-1)(s-1))$$
• 拒绝域
  $H_{0A}$的拒绝域为:
  $$F_A\ge F_{\alpha }(s-1,(s-1)(r-1))$$
  $H_{0B}$的拒绝域为:
  $$F_B\ge F_{\alpha }(r-1,(s-1)(r-1))$$
• 方差分析表
  |方差来源 |平方和 |自由度 |$F$值 |临界值 |
  | :------------: | :------------: | :------------: | :------------: | :------------: |
  |因素$A$ |$S_A$ |$r-1$ |$F_A=\frac{(s-1)S_A}{S_e}$ |$F_{A\alpha }$ |
  |因素$B$ |$S_B$ |$s-1$ |$F_B=\frac{(r-1)S_B}{S_e}$ |$F_{B\alpha }$ |
  |试验误差 |$S_e$ |$(r-1)(s-1)$ | | |
  |总和 |$S_T$ |$n-1$ | | |

4.实现

• 例题
  为了研究不同地点，不同季节大气飘尘含量的差异性，对地点$A$取三个不同水平，对季节$B$取四个不同水平，在不同组合(A_i,B_j)下各测一次大气飘尘含量，结果建下表，请问研究地点间的差异和季节间的差异对大气飘尘含量有无影响? $(\alpha =0.05)$

因素	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$
$A_1$	1.150	0.614	0.475	0.667
$A_2$	1.200	0.620	0.420	0.880
$A_3$	0.940	0.379	0.200	0.540

• Excel求解
  录入数据:
  
  在方差分析选项中选择“无重复双因素方差分析”，选中分析区域，$\alpha$设为0.05，单击“确定”:
  
  可在新工作表中看到结果:
  

• MATLAB求解

function annova_solve()x = [1.150, 0.614, 0.475, 0.667;1.200, 0.620, 0.420, 0.880;0.940, 0.379, 0.200, 0.540];p = anova2(x);
end

运行结果:

• Python求解

import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lmdf = pd.read_csv('D:\Data\ex_2way_annova.csv')
print(df)
model = ols('content ~ season + location', data = df).fit()
table = anova_lm(model)
print(table)

运行结果:

• 结论
  $F_A=23.848>F_{A\alpha }=10.92,F_B=88.848>F_{B\alpha }=9.78$，拒绝$H_{0A},H_{0B}$，认为两个因素都有影响。

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有交互作用的双因素方差分析

1.形式

假定要考察两个因素$A,B$对某项指标的影响，因素$A$取$s$个水平$A_1,A_2,\dots ,A_s$，因素$B$取$r$个水平$B_1,B_2,\dots ,B_r$，在$A,B$的每队组合水平$\left(A_i,B_j\right)$上尸检结果独立地服从$N\left({\mu }_{ij},{\sigma }^2\right)$分布，如下表:

因素	$B_1$	$B_2$	…	$B_s$
$A_1$	$X_{111},...,X_{11t}$	$X_{121},...,X_{12t}$	…	$X_{1s1},...,X_{1st}$
$A_2$	$X_{211},...,X_{21t}$	$X_{221},...,X_{22t}$	…	$X_{2s1},...,X_{2st}$
…	…	…	…	…
$A_r$	$X_{r11},...,X_{r1t}$	$X_{r21},...,X_{r2t}$	…	$X_{rs1},...,X_{rst}$

2.参数

为了方便研究，令:
$$\begin{array}{rl}& \mu =\frac{1}{rs}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{\mu }_{ij}\\ & {\mu }_{i.}=\frac{1}{s}\sum _{j=1}^s{\mu }_{ij}{\alpha }_i={\mu }_{i.}-\mu i=1,2,\dots ,r\\ & {\mu }_{.j}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{\mu }_{ij}{\beta }_j={\mu }_{.j}-\mu j=1,2,\dots ,s\end{array}$$
称$\mu$为一般平均值，${\alpha }_i$为因素$A$的第$i$个水平的效应，有如下关系式:
$$\sum _{i=1}^r{\alpha }_i=0\sum _{j=1}^s{\beta }_j=0$$
若${\mu }_{ij}\ne \mu +{\alpha }_i+{\beta }_j$，则称${\gamma }_{ij}={\mu }_{ij}-\mu -{\alpha }_i-{\beta }_j$为因素$A$的第$i$个水平与因素$B$的第$j$个水平的交互效应，它们满足关系式:
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^r{\gamma }_{ij}=0,j=1,2,\dots ,s\\ & \sum _{j=1}^s{\gamma }_{ij}=0,i=1,2,\dots ,r\end{array}$$

3.模型与假设

• 有交互的双因素方差分析模型
  $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& X_{ijk}=\mu +{\alpha }_i+{\beta }_j+{\gamma }_{ij}+{\epsilon }_{ijk}\\ & \sum _{i=1}^r{\alpha }_i=0,\sum _{j=1}^s{\beta }_j=0\\ & \sum _{i=1}^r{\gamma }_{ij}=0,\sum _{j=1}^s{\gamma }_{ij}=0\\ & {\epsilon }_{ijk}\sim N\left(0,{\sigma }^2\right),且相互独立\end{array} \\ i=1,2,\dots ,r;j=1,2,\dots ,s;k=1,2,\dots ,t \end{gathered}$$
• 需要检验的假设
  $$\begin{array}{rl}& H_{01}:{\alpha }_1={\alpha }_2=\dots ={\alpha }_r=0\\ & H_{02}:{\beta }_1={\beta }_2=\dots ={\beta }_s=0\\ & H_{03}:{\gamma }_{\bar{y}}=0,\forall i,j\end{array}$$

4.平方和分解

• 记号引入
  $$\begin{gathered} X=\frac{1}{rst}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{X}_{ijk} \\ \begin{array}{rl}& X_{ij\cdot }=\sum _{k=1}^t{X}_{ijk},{\bar{X}}_{ij\cdot }=\frac{1}{t}{X}_{ij\cdot },i=1,2,\dots ,r;j=1,2,\dots ,s\\ & X_{i\cdot \cdot }=\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{X}_{ijk},{\bar{X}}_{i\cdot \cdot }=\frac{1}{st}{X}_{i\cdot \cdot },i=1,2,\dots ,r\\ & X_{\cdot j\cdot }=\sum _{j=1}^r\sum _{k=1}^t{X}_{ijk},{\bar{X}}_{\cdot j\cdot }=\frac{1}{rt}{X}_{i\cdot \cdot },j=1,2,\dots ,s\end{array} \end{gathered}$$
  由此可得:
  $$\begin{array}{rl}& \bar{X}=\mu +\bar{s}\\ & {\bar{X}}_{ij\cdot }=\mu +{\alpha }_i+{\beta }_j+{\gamma }_{ij}+{\bar{\epsilon }}_{ij\cdot }\\ & {\bar{X}}_{i\cdot \cdot }=\mu +{\alpha }_j+{\bar{\epsilon }}_{i\cdot \cdot }\\ & {\bar{X}}_{\cdot j\cdot }=\mu +{\beta }_j+{\bar{\epsilon }}_{\cdot j\cdot }\end{array}$$
• 平方和分解
  $$\begin{array}{rl}& S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{\left(X_{ijk}-\bar{X}\right)}^2\\ & =S_E+S_A+S_B+S_{A\times B}\end{array}$$
• 误差平方和
  试验的随机波动引起的误差。
  $$S_E=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{\left(X_{ijk}-{\bar{X}}_{ij\cdot }\right)}^2$$
• 因子$A$的偏差平方和
  除了反映了试验的随机波动引起的误差外,还反映了因子A的效应间的差异。
  $$S_A=\sum _{i=1}^{r}st{\left({\bar{X}}_{i\cdot \cdot }-\bar{X}\right)}^2$$
• 因子$B$的偏差平方和
  除了反映了试验的随机波动引起的误差外,还反映了因子B的效应间的差异。
  $$S_B=\sum _{j=1}^{s}rt{\left({\bar{X}}_{\cdot j\cdot }-\bar{X}\right)}^2$$
• 交互作用的偏差平方和
  除了反映了试验的随机波动引起的误差外,还反映了交互效应的差异所引起的波动。
  $$S_{A\times B}=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^{s}t{\left({\bar{X}}_{ij\cdot }-{\bar{X}}_{i\cdot \cdot }-{\bar{X}}_{\cdot j\cdot }+\bar{X}\right)}^2$$
• 计算公式
  $$\begin{array}{rl}& S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{X}_{ijk}^2-n{\bar{X}}^2{f}_T=rst-1\\ & S_A=\frac{1}{st}\sum _{i=1}^r{X}_{i..}^2-n{\bar{X}}^2{f}_A=r-1\\ & S_B=\frac{1}{rt}\sum _{i=1}^r{X}_{.j.}^2-n{\bar{X}}^2{f}_B=s-1\\ & S_{A\times B}=\frac{1}{t}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{X}_{ij.}^2-n{\bar{X}}^2-S_A-S_B{f}_{A\times B}=(r-1)(s-1)\\ & S_E=S_T-S_A-S_B-S_{AXB}{f}_E=rs(t-1)\end{array}$$

5.假设检验

• 检验统计量
  当$H_{01}$为真时:
  $$F_A=\frac{S_A/(r-1)}{S_E/rs(t-1)}\sim F(r-1,rs(t-1))$$
  当$H_{02}$为真时:
  $$F_B=\frac{S_B/(s-1)}{S_E/rs(t-1)}\sim F(s-1,rs(t-1))$$
  当$H_{03}$为真时:
  $$F_{A\times B}=\frac{S_{A\times B}/(r-1)(s-1)}{S_E/rs(t-1)}\sim F((r-1)(s-1),rs(t-1))$$
• 假设的拒绝
  对给定的显著性水平$\alpha$:
  当$F_A>F_{1-\alpha }(r-1,rs(t-1))$时拒绝$H_{01}$
  当$F_B>F_{1-\alpha }(s-1,rs(t-1))$时拒绝$H_{02}$
  当$F_{A\times B}>F_{1-\alpha }((r-1)(s-1),rs(t-1))$时拒绝$H_{03}$
• 方差分析表

来源	平方和	自由度	均方和	$F$值	显著性
因子$A$	$S_A$	$r-1$	$S_A/(r-1)$	$F_A$
因子$B$	$S_B$	$s-1$	$S_B/(s-1)$	$F_B$
$A\times B$	$S_{A\times B}$	$(r-1)(s-1)$	$\frac{S_{A\times B}}{(r-1)(s-1)}$	$F_{A\times B}$
误差	$S_E$	$rs(t-1)$	$S_E/rs(t-1)$
总和	$S_T$	$rst-1$

一般,当$F>F_{0.99}$时,称因子的影响高度显著,记为“**”;当$F_{0.99}>F\ge F_{0.95}$时,称因子的影响显著,记为“*”;当$F＜F_{0.95}$时, 称因子无显著影响,即认为因子各水平间无差异。

6.实现

• 例题
  在某化工生产中为了提高收率，选了三种不同浓度$A$，四种不同温度$B$做试验。在同一浓度与同一温度组合下各做二次试验，其收率数据如下而计算表所列(数据均已减去75)。试检验不同浓度，不同温度以及它们间的交互作用对收率有无显著影响。

因素	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$X_{i\cdot \cdot }$	$X_{i\cdot \cdot }^2$
$A_1$	14,10	11,11	13,9	10,12	90	8100
$A_2$	9,7	10,8	7,11	6,10	68	4624
$A_3$	5,11	13,14	12,13	14,10	92	8464
$X_{\cdot j\cdot }$	56	67	65	62	250	21188
$X_{\cdot j\cdot }^2$	3136	4489	4225	3844	15694

• C++求解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int r = 3, s = 4, t = 2;double x[10][10][10]= {{{14,10},{11,11},{13, 9},{10,12}}, //data{{ 9, 7},{10, 8},{ 7,11},{ 6,10}},{{ 5,11},{13,14},{12,13},{14,10}}};double n_sq_x_bar = 0;double sq_x = 0;double x_ijdot = 0;double tmp = 0, tmp1 = 0, tmp2 = 0;double x_dot_j_dot[10];memset(x_dot_j_dot, 0, sizeof(x_dot_j_dot));double x_i_dot_dot[10];memset(x_i_dot_dot, 0, sizeof(x_i_dot_dot));for(int i = 0; i < r; ++i){for(int j = 0; j < s; ++j){for(int k = 0; k < t; ++k){x_dot_j_dot[j] += x[i][j][k];x_i_dot_dot[i] += x[i][j][k];tmp += x[i][j][k];n_sq_x_bar += x[i][j][k];sq_x += x[i][j][k] * x[i][j][k];}x_ijdot += tmp * tmp;tmp = 0;}}double sum_x_dot_j_dot = 0;for(int i = 0; i < s; ++i){sum_x_dot_j_dot += x_dot_j_dot[i] * x_dot_j_dot[i];}double sum_x_i_dot_dot = 0;for(int i = 0; i < r; ++i){sum_x_i_dot_dot += x_i_dot_dot[i] * x_i_dot_dot[i];}// cout << sum_x_dot_j_dot << " " << sum_x_i_dot_dot << endl;n_sq_x_bar /= 24;n_sq_x_bar *= n_sq_x_bar;n_sq_x_bar *= 24;// cout << n_sq_x_bar << " " << sq_x << " " << x_ijdot << endl;double S_T = sq_x - n_sq_x_bar;double S_A = sum_x_i_dot_dot / (s * t) - n_sq_x_bar;double S_B = sum_x_dot_j_dot / (r * t) - n_sq_x_bar;double S_AB = (1.0 / t) * x_ijdot - n_sq_x_bar - S_A - S_B;double S_E = S_T - S_A - S_B - S_AB;// cout << S_T << " " << S_A << " " << S_B << " " << S_AB << endl;double F_A = (S_A / (r - 1)) / (S_E / (r * s * (t - 1)));double F_B = (S_B / (s - 1)) / (S_E / (r * s * (t - 1)));double F_AB = (S_AB / ((r - 1) * (s - 1))) / (S_E / (r * s * (t - 1)));// cout << "F_A = " << F_A << "\nF_B = " << F_B << "\nF_AB = " << F_AB << endl;cout << "source\tdf\tSS\tMS\t\F" << endl;cout << "A\t" << r - 1 << "\t" << S_A << "\t" << S_A/(r - 1) << "\t" << F_A << endl;cout << "B\t" << s - 1 << "\t" << S_B << "\t" << S_B/(s - 1) << "\t" << F_B << endl;cout << "AXB\t" << (r - 1) * (s - 1) << "\t" << S_AB << "\t" << S_AB / ((r - 1) * (s - 1)) << "\t" << F_AB << endl;cout << "error\t" << r * s * (t - 1) << "\t" << S_E << "\t" << S_E/(r * s * (t - 1)) << endl;cout << "total\t" << r * s * t - 1 << "\t" << S_T << endl;return 0;
}

运行结果:

• MATLAB求解

function annova_solve()x = [14, 11, 13, 10;10, 11, 9, 12;9, 10, 7, 6;7, 8, 11, 10;5, 13, 12, 14;11, 14, 13, 10];p = anova2(x,2);
end

运行结果:

• Excel求解
  录入数据如下:
  

在“数据分析”中选择“可重复双因素分析”，选择区域，单击“确定”:

结果如下:

• 结论
  查表可知，$F_{0.05}<F_A<F_{0.01}$，$F_B,F_{A\times B}<F_{0.05}$。故认为浓度影响较为显著，温度与交互作用影响不显著。

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