【数据分析】单因素方差分析（含MATLAB和Python实现）

article/2025/6/16 23:32:12

1.基本概念

试验指标：在试验中要考察的指标，如产品质量等。
因素：影响试验指标的条件。包括可控因素和不可控因素。
单因素试验：在一项试验中只有一个因素在改变的试验。
多因素试验：在一项试验中多于一个因素在改变的试验。
水平：因素所处的状态。
随机误差：同一水平下，样本各观察值之间的差异，称为随机误差。这种差异可以看成是随机因素的影响。
系统误差：不同水平下，各观察值之间的差异。这种差异可能是由于行业本身所造成的，称为系统误差。

2.方差分析的任务

检验 $s$ 个总体 $N(\mu_1,\sigma^2),...,N(\mu_s,\sigma^2)$ 的均值是否相等，即检验假设:

$H_0:\mu_1=\mu_2=...=\mu_s\\ H_1:\mu_1,\mu_2,...,\mu_s不全相等$

作出未知参数 $\mu_1,\mu_2,...,\mu_s,\sigma^2$ 的估计
总平均:

$\mu=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{s}n_j\mu_j\\ n=\sum_{j=1}^{s}n_j$

$A_j$ 下总体平均值与总平均值的差异:
$\delta_j=\mu_j=\mu,\space\space j=1,2,...,s \\ X_{ij}=\mu_j+\epsilon_{ij},\space\epsilon_{ij}~N(0,\sigma^2)\\ 各\epsilon_{ij}独立,\space i=1,2,...,n_j,\space j=1,2,...,s\\ \Downarrow\\ X_{ij}=\mu+\sigma_j+\epsilon_{ij},\space\epsilon_{ij}~N(0,\sigma^2).\space 各\epsilon_{ij}独立\\ i=1,2,...,n_j,\space j=1,2,...,s,\space\sum_{j=1}^{s}n_j\delta_j=0\\$
因为 $\mu_1=\mu_2=...=\mu_s$ 时:
$\mu=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{s}n_j\mu_j=\frac{1}{n}\mu_j\sum_{j=1}^{s}n_j=\frac{1}{n}\mu_j n=\mu_j\\ \delta_j=\mu_j-\mu,\space j=1,2,...,s$
所以:
$H_0:\mu_1=\mu_2=...=\mu_s\\ H_1:\mu_1,\mu_2,...,\mu_s不全相等\\ \Downarrow\\ H_0:\delta_1=\delta_2=...=\delta_s\\ H_1:\delta_1,\delta_2,...,\delta_s不全为零$

3.平方和的分解

$A_1$	$A_2$	…	$A_s$
$X_{11}$	$X_{12}$	…	$X_{1s}$
$X_{21}$	$X_{22}$	…	$X_{2s}$
…	…	…	…
$X_{n_1 1}$	$X_{n_2 2}$	…	$X_{n_s s}$

记 $\bar{X}_{\cdot j}=\frac{1}{n_{j}} \sum_{i=1}^{n_{j}} X_{i j}$
水平 $A_i$ 下的样本均值（总的样本均值）:
$\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{s} \sum_{j=1}^{n_{i}} X_{i j}$
总偏差平方和（总变差，反映了全部试验数据之间的差异）:
$S_{T}=\sum_{j=1}^{s} \sum_{i=1}^{n_{j}}\left(X_{i j}-\bar{X}\right)^{2}$
组内偏差平方和（误差平方和，反映了水平 $A_i$ 内有随机误差二引起的波动）:
$S_{e}=\sum_{j=1}^{s} \sum_{i=1}^{n_{j}}\left(X_{i j}-\bar{X}_{\cdot j}\right)^{2}$
组间偏差平方和（效应平方和，由水平 $A_j$ 的效应的差异以及随机误差引起）:
$S_{A}=\sum_{j=1}^{s} n_{j}\left(X_{. j}-\bar{X}\right)^{2}$
总离差平方和分解式:
$S_{T}=S_{e}+S_{A}$

4. $S_e,S_A$ 的统计特性

$S_e$ 的统计特性

$S_{e}=\sum_{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i 1}-\bar{X}_{\cdot 1}\right)^{2}+\cdots+\sum_{i=1}^{n_{s}}\left(X_{i s}-\bar{X}_{\cdot s}\right)^{2}$

$\sum_{i=1}^{n_{j}}\left(X_{i j}-\bar{X}_{. j}\right)^{2}$ 是总体 $N\left(\mu_{j}, \sigma^{2}\right)$ 的样本方差的 $n_{j}-1$ 倍,
$\frac{\sum_{i=1}^{n_{j}}\left(X_{i j}-\bar{X}_{. j}\right)^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}\left(n_{j}-1\right)$
由 $\chi^2$ 分布的可加性:
$\frac{S_{E}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}\left(\sum_{j=1}^{s}\left(n_{j}-1\right)\right)$
即:
$\frac{S_{E}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-s), \quad E\left(S_{E}\right)=(n-s) \sigma^{2}$

$S_A$ 的统计特性

$E\left(S_{A}\right)=(s-1) \sigma^{2}+\sum_{j=1}^{s} n_j \delta^{2}$

且当 $H_0$ 为真时:
$\frac{S_{A}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(s-1)$

5.拒绝域

$F$ 比
定义 $F$ 比:

$F=\frac{\bar{S_A}}{\bar{S_e}}=\frac{S_A/\left(S-1\right)}{S_E/\left(n-s\right)}$

故检验问题拒绝域具有形式:
$F=\frac{S_A/\left(S-1\right)}{S_E/\left(n-s\right)}\le k$
其中 $k$ 由显著性水平 $\alpha$ 决定。

方差分析表

方差来源	平方和	自由度	均方	$F$ 比
因素 $A$	$S_A$	$s - 1$	$\overline{S}_{A}=\frac{S_{A}}{s-1}$	$F=\frac{\overline{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{A}}}{\overline{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{E}}}$
误差	$S_E$	$n - s$	$\bar{S}_{E}=\frac{S_{E}}{n-s}$
总和	$S_T$	$n - 1$

6.单因素方差分析的实现

例题
工程师测量了四种不同类型外壳的彩色显像管的传导率，得传导率的观察值如下表:

显像管型号	传导率值1	传导率值2	传导率值3	传导率值4
$A_1$ (类型1)	143	141	150	146
$A_2$ (类型2)	152	144	137	143
$A_3$ (类型3)	134	136	133	129
$A_4$ (类型4)	129	128	134	129

问: 外壳类型对传导率是否由显著影响？（ $\alpha=0.05$ ）

作出假设
设水平 $A_i$ 下， $X_{i} \sim N\left(a_{i}, \sigma^{2}\right)$ 。
假设 $H_{0}: a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}$ ； $H_{1}: a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 不全相等。
Excel求解
录入数据至Excel表格:

点击“数据”-“数据分析”-“单因素方差分析”（需要加载数据分析库）
选中数据区域。由于该表中每行为一种类型，故选择行分组方式，依题意， $\alpha(A)$ 取0.05，单击“确定”:

可在新工作表中看见方差分析表:
matlab求解

%solve20200308.m
function solve20200308()x = [143, 152, 134, 129;141, 144, 136, 128;150, 137, 133, 134;146, 143, 129, 129];p = anova1(x)
end
%控制台键入
solve20200308()

方差分析表:

python求解

import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lmdf = pd.read_csv('D:\Data\ex_5.csv')
print(df)
model = ols('conductivity~type', data = df).fit()
table = anova_lm(model)
print(table)