gaussian_filter( )函数（高斯滤波）

article/2025/11/7 14:06:46

对一个数进行高斯滤波（模糊）可以理解成将该数取附近矩形窗口所有值的加权平均值，距离处理数越近的点权重越大，距离处理点越远的点权重越小。因此如果取的矩形窗口越大，那么对处理点的模糊效果越强烈。

上图，对数值2进行高斯滤波（模糊），取该数附近3×3阶矩形窗口（左图）。如果待处理点2直接取周围点的平均值，就会变成1（右图）。在数值上，这是一种平滑化，在图形上，就相当于产生模糊效果，让中间点失去细节。

因为数值和图像都是连续的，越靠近待处理点的点关系越密切，越远离待处理点的点关系越疏远，像上图那样直接使用简单平均是不合理的。用加权平均更合理，即距离越近的点权重越大，距离越远的点权重越小。之所以把这种滤波方式叫做高斯滤波，是因为权重值是由高斯函数决定。

一维高斯分布函数： $G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}$

二维高斯分布函数： $G(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma^2 }e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma ^2}}$

1 一维高斯滤波

存在如下一组数据，现对4进行高斯滤波，选取4附近的1×3矩形窗口，即[3 4 2]进行加权求和。

[3 4 2 5 8 1 6]

假定4的坐标是0，那么它附近的矩形窗口的坐标是[-1 0 1]。一维高斯分布函数可以决定一维数据周围点的权重值，假设 $\sigma$ =1，分别将坐标代入一维高斯分布函数得到权值矩阵[0.2419 0.3989 0.2419]，这3个点的权值总和等于0.8827，如果要计算这3个点的加权平均，必须让他们的权重之和=1，因此权值矩阵还要分别除以0.8827，得到最终的权重矩阵[0.2740 0.4519 0.2740]。将每个点乘以对应的权值，将所有值相加（0.822+1.8076+0.548=3.1776）就是待处理值4的高斯模糊值。像4一样，对3 4 2 5 8 1 6每个数据都进行这样的操作，就是对这个数据进行了高斯滤波。

需要注意的是开头3和结尾6，要么不进行高斯滤波（常用），要么补零。

python中，一维高斯滤波器的函数：

gaussian_filter1d(input, sigma)

input：输入一维数据；sigma：高斯函数里面的 $\sigma$ ， $\sigma$ 越大滤波越厉害；返回一个和input形状一样的数据。

2 二维高斯滤波

现对下图一中的4进行高斯滤波，选取4附近的3×3矩形窗口，对[[14 15 16],[24 25 26],[34 35 36]]进行加权求和。假定25的坐标是(0,0)，那么它附近的矩形窗口的坐标是[[(-1,1) (0,1) (1,1)],[(-1,0) (0,0) (1,0)],[(-1,-1) (0,-1) (1,-1)]]。二维高斯分布函数可以决定二维数据周围点的权重值，假设 $\sigma$ =1.5，分别将坐标代入一维高斯分布函数得到权值矩阵(图二)，9个点的权值总和等于0.4787147，如果要计算这9个点加权平均，必须让他们的权重之和=1，故权值矩阵还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵(图三)。将每个点乘以对应的权值（图四），将所有值相加（24.9999）就是待处理值25的高斯模糊值。