1、高斯-赛戴尔迭代法的定义以及表达形式

以下列方程组为例：

      在雅克比迭代法中，并没有对新算出的分量进行充分利用，一般来说，这些新算出计算的结果要比上一步计算的结果精确。

      对上式第二个方程组，第一行式子算出的x值立即投入第二行方程里，第二行式子的结果算出后投入第三行方程中，直到第n个方程。

      根据这种思路建立的迭代格式，就是高斯-赛戴尔迭代法。

      此处省略改进后的方程组。根据描述的改进方法可以推出。

2、收敛条件

迭代格式如下：

其中：

下面为一些定理：

3、误差定义

4、程序流程图

5、程序

#include<iostream>  
#include<math.h>  
using namespace std;  const int n=3;  
void Gauss_Seidel();  
double A[n][n]={{8,-3,2},{4,11,-1},{2,1,4},};
// 系数矩阵A 对称正定 则迭代公式收敛
// 系数矩阵A 严格对角占优，则：A非奇异，迭代法收敛。
float B[n] = {20,33,12};
// 常数项int main()    //主函数
{  Gauss_Seidel();  
}  void  Gauss_Seidel()  //高斯-赛戴尔迭代法函数
{  double X[n]={0,0,0}; for (int k=0;k<1000;k++){     //最大迭代次数为1000 for(int i=0;i<n;i++) {    //双重for循环遍历数组double sum=0;    for(int j=0;j<n;j++){    if(j==i) continue; //跳过else sum+=A[i][j]*X[j]; // 否则 矩阵和新算出的 进行运算}     X[i]=(B[i]-sum)/A[i][i];  ///计算完新的x[i],旧的x[i]会被自然冲掉  }    }   cout<<"系数矩阵为："<<endl;for (int i=0;i<n;i++){     for(int j=0;j<n;j++) {cout<<A[i][j];cout<<'\t';	}cout<<B[i];cout<<endl;}cout<<"迭代结果："<<endl;for (int i=0;i<n;i++)    //输出结果{ cout<<X[i];    cout<<endl;    }
}

 

6、运行结果