自动控制原理 (二): 控制系统的微分方程

article/2025/6/9 13:23:33

要进一步研究一个自动控制系统, 就需要建立系统的数学模型来描述一个系统。 所谓数学模型, 就是描述系统输入、 输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 常用微分方程来描述系统各变量的动态关系。

建立微分方程的步骤如下:

  1. 分析各元件的工作原理, 明确输入量和输出量;
  2. 按照信号的传递顺序, 列写各变量的动态关系式;
  3. 化简(线性化、 小曲中间变量), 写出输入、 输出变量间的数学表达式。

常用元件的微分方程:

  • 电阻: i = u R i=\frac{u}{R} i=Ru​;
  • 电容: i = C d u d t i=C\frac{\text du}{\text dt} i=Cdtdu​​; 电感: u = d i d t u=\frac{\text di}{\text dt} u=dtdi;​​
  • 质量块: F = M d v d t F=M\frac{\text dv}{\text dt} F=Mdtdv
  • 弹簧: F = k ( x 1 − x 2 ) F=k(x_1-x_2) F=k(x1x2)
  • 阻尼器: F = b ( v 1 − v 2 ) F=b(v_1-v_2) F=b(v1v2)

控制系统的传递函数

概念

在经典控制理论中, 一般用传递函数来描述控制系统。 对于一个线性定常系统, 在零初始条件 (零输入+零状态) 下, 输出变量的 Laplace 变换与输入变量的 Laplace 变换之比, 称为该系统的传递函数。 如下图所示:

传递函数是变量 s 的有理分式, 且分子的次数 m 和分母的次数 n 满足 m ≤ n m\leq n mn​​。1

可以类比一下 电路 中的网络函数。

典型环节

系统的传递函数通常可以表示为:
G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = b 0 s m + b 1 s m − 1 + ⋯ + b m − 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n − 1 + ⋯ + a n − 1 s + a n G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\dots+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\dots+a_{n-1}s+a_n} G(s)=R(s)C(s)=a0sn+a1sn1++an1s+anb0sm+b1sm1++bm1s+bm
可进行因式分解, 分解为如下形式:
G ( s ) = K s r ∏ i = 1 h ( τ i s + 1 ) ∏ j = 1 l ( τ j 2 s 2 + 2 ζ j τ j s + 1 ) s v ∏ i = 1 k ( T i s + 1 ) ∏ j = 1 q ( T j 2 s 2 + 2 Z j T j s + 1 ) G(s)=\frac{Ks^r \prod_{i=1}^h(\tau_is+1)\prod^l_{j=1}(\tau_j^2s^2+2\zeta_j\tau_js+1)}{s^v\prod^k_{i=1}(T_is+1)\prod^q_{j=1}(T_j^2s^2+2\Zeta_jT_js+1)} G(s)=svi=1k(Tis+1)j=1q(Tj2s2+2ZjTjs+1)Ksri=1h(τis+1)j=1l(τj2s2+2ζjτjs+1)
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积, 每个基本因子就称为 典型环节

  • 比例环节: K K K​​
  • 积分环节: 1 s 1\over s s1
  • 微分环节: s s s
  • 惯性环节: 1 T s + 1 1\over Ts+1 Ts+11
  • 一阶微分环节: τ s + 1 \tau s+1 τs+1
  • 二阶振荡环节: 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 1\over T^2s^2+2\zeta Ts+1 T2s2+2ζTs+11
  • 二阶微分环节: τ 2 s 2 + 2 ζ τ s + 1 \tau^2s^2+2\zeta\tau s+1 τ2s2+2ζτs+1
  • 延迟环节: e − τ s \mathrm e^{-\tau s} eτs

动态结构图

动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。 2

在这里插入图片描述

绘制动态结构图的步骤如下:

  1. 建立控制系统各元部件的微分方程:
  2. 对各微分方程在零初始条件下, 进行 Laplace 变换, 并作出各元件结构图;
  3. 按照系统中各变量的传递顺序, 依次将各元件结构图连接起来。 (通常输入在左, 输出在右)

例: 直流电动机: 电枢转动惯量为 J, 粘性摩擦系数为: f
{ u a = R a i a + L a d i a d t + E a 反电动势 : E a = K b d θ m d t 电机输出力矩 : T m = K t i a J d 2 θ m d t 2 + f d θ d t = T m \begin{cases} u_a=R_ai_a+L_a\frac{\text di_a}{\text dt}+E_a\\ \text{反电动势}: E_a=K_b\frac{\text d\theta_m}{\text dt}\\ \text{电机输出力矩}: T_m=K_ti_a\\ J\frac{\text d^2\theta_m}{\text dt^2}+f\frac{\text d\theta}{\text dt}=T_m \end{cases} ua=Raia+Ladtdia+Ea反电动势:Ea=Kbdtdθm电机输出力矩:Tm=KtiaJdt2d2θm+fdtdθ=Tm
对上面的表达式进行 Laplace 变换, 可得:
{ U a ( s ) = R a I a ( s ) + L a s I a ( s ) + E a ( s ) E a ( s ) = K b s Θ ( s ) T m ( s ) = K t I a ( s ) J s 2 Θ ( s ) + f s Θ ( s ) = T m ( s ) \begin{cases} U_a(s)=R_aI_a(s)+L_asI_a(s)+E_a(s)\\ E_a(s)=K_bs\Theta(s)\\ T_m(s)=K_tI_a(s)\\ Js^2\Theta(s)+fs\Theta(s)=T_m(s)\\ \end{cases} Ua(s)=RaIa(s)+LasIa(s)+Ea(s)Ea(s)=KbsΘ(s)Tm(s)=KtIa(s)Js2Θ(s)+fsΘ(s)=Tm(s)
电机的转角 θ \theta θ 应该作为输出, 而控制量 u a u_a ua 作为输入, 将上式做移项化简等操作, 根据信号走下即可画出动态结构图:

在这里插入图片描述

动态结构图的等效变换*

动态结构图可以做等效变换, 最终求出整个系统的传递函数, 但这种等效变换的方法在框图过于复杂时难以计算, 因此不是很常用。 这种情况下使用下一节的梅森公式会比较容易计算。 下面只列举常用的三种等效变换。

串联

在这里插入图片描述

并联

在这里插入图片描述

反馈

在这里插入图片描述

梅森公式

对于一个结构图, 有如下概念:

  • 前向通道: 从输入到输出的通道, 并且按照箭头的指向经过的元件只有一次;
  • 回路: 在结构图中信号闭合流动的回路;
  • 回路传递函数: 回路中, 前向传递通道和反馈通道传递函数的乘积, 并且要算上综合点的正负号;
  • 互不接触回路: 没有同一信号流过的不同回路。

梅森公式为:
G ( s ) = ∑ k = 1 N p k Δ k Δ G(s)=\frac{\sum^N_{k=1}p_k\Delta_k}{\Delta} G(s)=Δk=1NpkΔk
式中:

  • p k p_k pk : 第 k 条前向通道传递函数的乘积;
  • Δ \Delta Δ : 系统特征多项式: Δ = 1 − ∑ L i + ∑ L i L j − ∑ L i L j L k + … \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\sum L_iL_jL_k+\dots Δ=1Li+LiLjLiLjLk+
    • L i L_i Li : 第 i 个回路传递函数;
    • L i L j L_iL_j LiLj : 两个互不接触回路传递函数的乘积;
    • L i L j L k L_iL_jL_k LiLjLk​ : 三个互不接触回路传递函数的乘积;
    • … \dots
  • Δ k \Delta_k Δk : 第 k 条前向通道的余因子, 又称余子式, 即 Δ \Delta Δ 中去除与第 k 条前向通道相接触的回路后的余项。

可以借助如下系统, 分别用等效变换法和梅森公式计算来理解一下:

在这里插入图片描述

参考文献

《自动控制原理 (第二版)》 | 程鹏 | 高等教育出版社


  1. 如果分子次数大于分母的话, 经过 Laplace 反变换会发现势必出现微分环节, 而理想的微分从物理上来讲是不可实现的, 对于理想微分 y ˙ = f ( x + Δ ) − f ( x ) Δ \dot y = \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} y˙=Δf(x+Δ)f(x) , 这意味着当 Δ > 0 \Delta>0 Δ>0 时, 当前的输出需要未来的输入, 这是不可能的。 实际上相等都很少, 大部分都是分子次数小于分母 ↩︎

  2. 这个也很像 Simulink 的思路 ↩︎


http://chatgpt.dhexx.cn/article/7jITVjFv.shtml

相关文章

自动控制原理 (一): 基础概念

自动控制系统, 是指能够完成自动控制任务的设备; 而自动控制任务是指在没有人的参与下, 利用控制装置操纵被控对象, 使被控量等于给定值。 一个自控系统一般包括被控对象和控制器。 自动控制系统 有如下概念: 控制&…

【自动控制原理】控制系统数学模型

目录 一、控制系统数学模型1.1 数学模型概述1.2 时域、复域、频域下的常见数学模型举例1.3 时域微分方程建模示例一1.4 时域微分方程建模示例二1.5 线性系统特性1.6 运动模态 二、线性系统复域数学模型2.1 传递函数2.1.1 传递函数2.1.2 推导2.1.3 Matlab写连续传递函数的方式2.…

自动控制原理知识点梳理——1. 自动控制的一般概念 2. 控制系统的数学模型

目录 1. 自动控制的一般概念 1.1知识梳理&逻辑图 2. 控制系统的数学模型 2.1知识梳理&逻辑图 2.2补充内容 2.2.1传递函数的零点和极点 2.2.2典型环节及其传递函数 2.2.3相同的特征多项式和开环传递函数定义 2.2.4由结构图得传递函数 2.2.5拉氏变换知识回顾 1…

第2章-系统控制原理 -> 经典控制理论

第1章-多智能体系统回到目录第2章-系统控制原理 -> 线性系统状态空间 文章目录 2 系统控制原理2.1 经典控制理论2.1.2 连续系统求解定义 2.1 [拉普拉斯变换]定义 2.2 [传递函数 transfer function]定义 2.3 [零点 zeros、极点 poles]例题 2.1 2.1.3 线性离散系统2.1…

【经典控制理论】| 自动控制原理知识点概要(上)

参考资料 胡寿松《自动控制原理》第6版刘豹《现代控制理论》第3版斐润《自动控制原理》哈工大控制学科803考研资料 前言 对于控制工程专业的我来说,经典控制理论是很重要的,因此趁着参加秋招这个档口,顺便复习下学过的控制理论。希望也能对…

DMA控制器原理详解

目录 工作原理 DMA硬件架构 DMA通道的作用 DMA寄存器 DMA出现的目的 工作原理 DMA全拼Direct Memory Access(直接内存存取),在传统的CPU存取数据时会先将数据放到缓存寄存器中然后在写入到指定位置 CPU存取数据流程图: CPU…

自动控制原理8.1---非线性控制系统概述

参考书籍:《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编. 《自动控制原理PDF版下载》 1.非线性控制系统概述 1.1 研究非线性控制理论的意义 当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时,该系统称为非线性系统; 随动系统实例说明: …

【经典控制理论】| 自动控制原理知识点概要(下)

参考资料 胡寿松《自动控制原理》第6版刘豹《现代控制理论》第3版斐润《自动控制原理》哈工大控制学科803考研资料 前文 【经典控制理论】| 自动控制原理知识点概要(上) 6. 线性系统的校正 6.1 综合和校正问题的提出 控制系统的综合和校正问题是在已知…

交流异步电机矢量控制(二)——矢量控制原理

前言:在前面梳理完电机数学模型和坐标变换的知识后,下一步就是对矢量控制系统的建立,矢量控制系统重在于其思想框架的理解以及异步电机独有多种磁场定向方案之间的区别,这两个问题都是值得独立探究的,按照顺序来。 本…

自动控制原理(一)

目录 一阶系统1.数学模型2.单位阶跃响应3.特性分析4.典型实例 二阶系统1.数学模型2.单位阶跃响应3.暂态响应的定量分析指标 高阶系统自动控制系统稳定性参考资料 一阶系统 1.数学模型 系统闭环传递函数入下图: 开环传函:积分环节 闭环传函:惯性环节 …

【知识点总结】自动控制原理(自控)

自动控制原理 总结内容: 内容包括: 控制系统的时域数学模型、控制系统的复数域数学模型、控制系统的结构图与信号流图、梅逊公式 、闭环系统传递函数、线性系统的时域分析法、一阶系统的时域分析、系统时间响应的性能指标、二阶系统的时域分析、线性系统…

通俗易懂的自动控制原理 # 绪论

1 自动控制系统的基本原理 1.1 引入以及定义 诸如:神舟10号发射升空、战斧式巡航导弹、装配机器人、自动泊车系统等其中都应用了自动控制的相关理论和技术。 什么是控制? 控制 - 使某个(某些)量按一定的规律变化某个&#xff0…

自动控制原理(来自于b站的笔记整理,深入理解自动控制框架)

一、自动控制原理 1 文章目录 一、自动控制原理 [^1]1. 控制原理1.1 开环与闭环系统1.2 稳定性分析[^2]1.3 一起燃烧卡路里/科学减肥(系统分析实例_数学建模部分)1.4 终值定理与稳态误差[^3]1)比例控制2)比例积分控制 1.5 根轨迹1…

《自动控制原理》个人笔记(来自ppt课件)

控制的含义 控制(CONTROL)----某个主体使某个客体按照一定的目的动作。 主体–人:人工控制; 机器:自动控制 客体–指一件物体,一套装置,一个物化过程,一个特定系统。 人工控制与自…

4. 吴恩达深度学习--优化算法

本文主要参考了 严宽 大神的学习笔记,并在其基础上补充了一点内容,点此查看原文。   本文所使用的资料已上传到百度网盘【点击下载】,提取码:hnwl ,请在开始之前下载好所需资料。   到目前为止,哦我们始…

吴恩达深度学习课程第二章第三周编程作业(pytorch实现)

文章目录 声明一、问题描述二、编程实现1.加载数据集2.使用mini-batch3.利用pytorch搭建神经网络3.1 利用torch.nn简单封装模型3.2 定义优化算法和损失函数 4.整体代码 声明 本博客只是记录一下本人在深度学习过程中的学习笔记和编程经验,大部分代码是参考了【中文】…

吴恩达深度学习L4W4人脸识别

1、One-shot learning 人脸识别往往每个人只有一张照片,因此不应该用卷积神经网络配合softmax训练。 应该选择学习 Similarity 函数。详细地说,你想要神经网络学习这样一个用𝑑表示的函数,𝑑(𝑖&#x1d45…

吴恩达深度学习Deep Learning课程笔记

1.1 前言 课程安排: 1.神经网络和深度学习 内容:神经网络的基础,如何建立神经网络、深度神经网络、以及如何在数据时训练它们 2.提升深度神经网络 内容:深度学习方面的实践,严密地构建神经网络以及提升其表现&…

吴恩达深度学习第一章第二周编程作业

文章目录 前言一、题目描述。二、相关库三、编程步骤1.数据预处理2.模型的封装3.模型的调用4.结果展示 总结 前言 本人处于初学阶段,编程能力有限,代码的编写参考了网上的大神。 一、题目描述。 我们需要训练得到一个逻辑回归分类器来对图片进行二分类&…

吴恩达深度学习之风格迁移

个人的学习笔记,一直更新中,如有错误,评论区见,冲冲冲! 笔记来源:吴恩达深度学习 4.6 什么是神经风格转换?_哔哩哔哩_bilibili 1 输入输出 风格迁移输入:内容(Conten…