参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.非线性控制系统概述

1.1 研究非线性控制理论的意义

当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统；

随动系统实例说明：

• 图(a)：放大元件受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器线性工作范围，输出呈饱和现象；
• 图(b)：执行元件电机，轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，当电枢电压超过一定数值时，电机转速将不再增加，出现饱和现象；
• 图(c)：传动机构受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性；

实例说明：

设柱形液位系统如下图所示：

其中：$H$为液位高度，$Q_i$为液体流入量，$Q_o$为液体流出量，$C$为贮槽截面积；

根据水力学原理：
$$Q_o=k\sqrt{H}，其中：k为比例系数，取决于液体的黏度和阀阻；\text{\hspace{1em}(1)}$$
液位系统动态方程为：
$$C\frac{dH}{dt}=Q_i-Q_o=Q_i-k\sqrt{H}\text{\hspace{1em}(2)}$$
一般，非线性数学模型表示为：
$$f\left\{t,\frac{d^{n}y}{d{t}^n},\dots ,\frac{dy}{dt},y\right\}=g\left\{t,\frac{d^{m}r}{d{t}^m},\dots ,\frac{dr}{dt},r\right\}\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中：$f(\cdot )、g(\cdot )$为非线性函数；

当非线性程度不严重时，如：不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机械间隙不大时，可以忽略非线性特性的影响，将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内，运用小偏差法将非线性模型线性化；

设液位系统的液位$H$在$H_0$附近变化，相应的液体输入量$Q_i$在$Q_{i0}$附近变化，取：$\Delta H=H-H_0，$$\Delta Q_i=Q_i-Q_{i0}$，对$\sqrt{H}$做泰勒级数展开，有：
$$\sqrt{H}=\sqrt{H_0}+\frac{1}{2\sqrt{H_0}}(H-H_0)+\cdots +\text{\hspace{1em}(4)}$$
因为$H,Q$变化较小，取$\sqrt{H}$泰勒级数展开式的一次项近似，可得小偏差线性方程：
$$C\frac{d(\Delta H)}{dt}=\Delta Q_i-\frac{k}{2\sqrt{H_0}}\Delta H\text{\hspace{1em}(5)}$$

1.2 非线性系统的特征

线性系统的重要特征：可以应用线性叠加原理；非线性系统不可以应用叠加原理；能否应用叠加原理是两类系统的本质区别；

非线性系统的运动主要有如下特点：

1. 稳定性分析复杂

   对于线性系统，只有一个平衡状态$y=0$，线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性，且只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关；

   对于非线性系统，系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的，可能是不稳定的，初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同；平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，且与系统的初始条件有直接关系；

2. 可能存在自激振荡现象

   自激振荡：指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，亦称自振；但线性系统在无外界周期变化的信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡，因为线性系统产生的周期运动在外扰动作用下使系统输出发生偏离时会发生改变，不能维持周期运动；

3. 频率响应发生畸变

   稳定的线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号，其幅值$A$和相位$\phi$为输入正弦信号频率$\omega$的函数；

   非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基频分量)外，还含有关于$\omega$的高次谐波分量，使系统波形发生非线性畸变；若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变；

1.3 非线性系统的分析与设计方法

1. 相平面法

   相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析法；该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式；相平面法仅适用于一阶和二阶系统；

2. 描述函数法

   描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法；该方法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡；

3. 逆系统法

   逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，以此为基础，设计外环控制网络；