高数 | 旋转体体积的一般公式

article/2025/10/25 16:37:56

题设:求阴影部分D,绕直线旋转的体积

 解:

在阴影中取个小圆,圆心坐标(x,y),圆心到直线的距离记作 r(x,y) 

 

 那么这个小区域旋转后的体积,就可以表示为:

 用二重积分的思想表示全部的体积:

 特例:

当绕x轴和y轴旋转时(直线的表达式分别为:l=x 和 l=y)

 假设图像为下图

 当绕x轴旋转时:

 当绕y轴旋转时:

 


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