首先AUC的定义就是ROC曲线的面积。这是西瓜书上给的定义式子
很容易看出是微积分的思想。
为什么说AUC越大ROC越理想呢？首先思考一下ROC的定义是什么，从定义入手一切都很简单。只不过是概念多了可能会把你给绕糊涂了。ROC曲线是这样画出来的：
给定m+个正例和m-个反例，先把分类的阈值设置到最大，也就是所有的例子预测结果都是反例，此时真正例率和假正例率均为0/在坐标原点处（0，0）标记一个点，然后设置阈值依次为每一个样例的预测值，即将每个样例划分为正例。假设前一个坐标点为（x，y），当前若为真正例，则对应标记点的坐标为（x,y+1/m+）；若为假正例，则对应标记点的坐标为（x+1/m-,y），然后用线段连接即得
从定义可以看出假正例越多，横轴方向上偏移的越多。我们希望的是在横轴偏移之后，不要再有纵轴方向上的偏移，否则就说明了，有正例排在了反例的后面。 我们看图说明：
我们假设有5个正例，5个反例
1）：
我们生成的10个预测值从大到小排序为
12 10 9 8 7 6 5 4 3 1
我们假设前五个都是真正例，后面五个都是真反例，我们一个一个的根据定义画点
我省略的第9次（画不下了）。根据图可以看见，若没有反例在正例之前的话，把这些连起来就是一个倒 L 的折线。
注意现在
2）：我们给3个正例，7个反例
我们生成的10个预测值从大到小排序为
12 10 9 8 7 6 5 4 3 1
我们假设第3个为假正例(也就是个是反例，但是我们预测错了，而认为他是正例)第七个为假反例。其余的都和 （1）一样，我们再一个一个的根据定义画点
从这两张图你应该可以看出，如果反例排在正例前面的话，则会向右偏之后再向上偏。这是我们不希望看到的，因为我们希望我们预测的是正确的，就是说我们预测好的结果，就是正例在反例前，不存在反例在正例前面。
我们再观察ROC曲线，（当然我上面画的点比较少，你可以看看西瓜书上面的），发现如果反例排在正例前面越多的话，那么我的ROC曲线和横轴所围的面积越小。极端情况正例全部在反例的后面，那么就是向右偏五个点，然后向上偏五个点，这样与横轴所围的面积就是0了。这是最坏的情况，是我们不想看到的。
最好的情况就是我们（1）的那种情况，所有正例都在反例前面所展现出来的ROC曲线。
根据前面我们知道可以根据面积衡量一个预测的结果好坏程度，AUC就是ROC的面积，从而我们可以根据AUC衡量ROC的好坏程度。
西瓜书上还出现了Lrank表示ROC以上的面积，我们很容易联想到那是错误的程度，因为下面面积越大，越理想，这会导致上面的面积越小，也就是越小的错误。至于书上给出的式子，比较数学化不是很好的理解。但如果逐步的分析，其实也不难。
||(.)表示指示函数，条件成立则为1，否则则为0。（这两个竖杠是连在一起的，但是不知道为啥软件画出来是这样，和罗马数字”Ⅱ“一样）。
下面开始分析，m+和m-的乘积可知是整个的面积，那么那个积分可知就是上面的面积了。x+是正例，x-是反例。
f(x+)<f(x-)其实就是真正例的预测值小于了反例的预测值，也就是排在反例后面的正例，或者说是在正例前面的反例
现在再看这个积分其实很简单，先选取第一个假正例(排在正例前的反例)，然后看看有哪些正例排在这个反例的后面。对应我之前画的点图的话，也就是在这个反例上方的真正例。（注意这里有两个条件，一个是真正例，一个是在上方，这个上方包括他自己），然后再看第二个假正例，以此类推，我的点图里面只有两个。在真正的学习当中，ROC曲线的点比这个多的多，也正是因为点非常多，所以才趋近于曲线，而不是折线。
