深入理解AUC

AUC是什么

auc是roc曲线的面积，常用来评价二分类系统的好坏。

AUC如何计算

对于二分类问题，预测模型会对每一个预测样本一个得分p，然后选取一个阈值t，当$p>t$时，样本预测为正，当$p<=t$时样本预测为负。根据样本自身的标签值和模型预测的标签值，我们可以把样本划分为四个部分。分别是TP、FP、TN、FN。如下图所示：

随着阈值t选取的不同，这四类样本的比例各不相同。定义TPR(真正例率)和FPR(假正例率)分别如下：

$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$

$FPR=\frac{FP}{FP+TN}$

• TPR的意义是所有真实类别为1的样本中，预测类别为1的比例
• FPR的意义是所有真实类别为0的样本中，预测类别为1的比例

当阈值t发生变化时，TPR和FPR会随之变化。我们将TPR和FPR写成关于t的变量形式。定义$N_{+}(t)$和$N_{-}(t)$分别为得分大于$t$的样本中正负样本的数目，$N_{+}$和$N_{-}$为总的正负样本数目，则：
$$TPR(t)=\frac{N_{+}(t)}{N_{+}}$$
$$FPR(t)=\frac{N_{-}(t)}{N_{-}}$$

以TPR为横轴，FPR为纵轴，随着阈值t的变化，点$(TPR,FPR)$会在坐标轴上画出一条曲线，这条曲线就是ROC曲线。
显然，如果模型是随机的，模型得分对正负样本没有区分性，那么得分大于t的样本中正负样本的比例应该和总的正负样本比例基本一致。也就是说
$$\frac{N_{+}(t)}{N_{-}(t)}=\frac{N_{+}}{N_{-}}$$
从上式可以看出此时ROC曲线是一条直线。
反之，如果模型的区分性非常理想，也就是说正负样本的得分可以完全分开，所有的正样本都比负样本得分高，此时ROC曲线表现为「字形。

实际的模型ROC曲线则是一条上凸的曲线，介于随机和理想的ROC曲线之间。二ROC曲线的面积即为AUC！

$$AUC={\int }_{t=\infty }^{+\infty }y(t)dx(t)$$
这里的$x$和$y$分别是FPR和TPR，是ROC曲线的横纵坐标。

ROC曲线上有几个值得关注的点：

• (0,1)：此时$FPR=0$,$TPR=1$模型最好，混淆矩阵是对角矩阵
• (0,0)：$FPR=0$，$TPR=0$，此时当$t\ge 1$时取到，即样本预测全部为负样本，混淆矩阵第一行全为0
• (1,1)：$FPR=1$，$TPR=1$，此时当$t\le 0$时取到，即样本预测全部为正样本，混淆矩阵第二行全为0

AUC的概率解释

AUC常常被用来作为模型排序好坏的指标，原因在于AUC可以看做随机从正负样本中选取一对正负样本，其中正样本的得分大于负样本的概率！考虑随机取得这对正负样本中，负样本得分在$[t,t+\Delta t]$之间的概率为
$$P(t\le s_{-}<t+\Delta t)=P(s_{-}>t)-P(s_{-}>t+\Delta t)$$
$$=\frac{N_{-}(t)-N_{-}(t+\Delta t)}{N_{-}}=x(t)-x(t+\Delta t)=-\Delta x(t)$$

如果$\Delta t$很小，那么该正样本得分大于该负样本的概率为
$$P(s_{+}>s_{-}|t\le s_{-}<t+\Delta t)\approx P(s_{+}>t)=\frac{N_{+}(t)}{N_{+}}=y(t)$$
所以，$P(s_{+}>s_{-})=\sum P(t\le s_{-}<t+\Delta t)P(s_{+}>s_{-}|t\le s_{-}<t+\Delta t)=-{\int }_{t=-\infty }^{\infty }y(t)dx(t)={\int }_{t=\infty }^{-\infty }y(t)dx(t)=AUC$。

这个积分表示为随机在样本里面取一对正负样本，正样本的得分大于负样本的概率。

AUC的排序特性

根据上面的概率解释，AUC实际上在说一个模型把正样本排在负样本前面的概率！所以AUC常用在排序场景的模型评估，比如搜索和推荐等场景！这个解释还表明，如果将所有的样本得分加上一个额外的常数并不改变这个概率，因此AUC不变。因此，在广告等需要绝对的点击率场景下，AUC并不适合作为评估指标，而是用logloss等指标。

AUC对正负样本比例不敏感

利用概率解释还可以得到AUC另一个性质：对正负样本比例不敏感。在训练模型的时候，如果正负样本差异较大，我们经常会对正样本进行过采样或者对负样本进行下采样。当一个模型训练完了之后，用负样本下采样后的测试集计算出来的AUC和未采样的测试集计算的AUC基本一致，或者说前者是后者的无偏估计！对于阈值t来说，党对正样本或者负样本进行均衡采样时，大于t或者小于t的样本是等比例变化的，即$\frac{k\ast N_{+}(t)}{k\ast N_{+}}=\frac{N_{+}(t)}{N_{+}}$，$\frac{k\ast N_{-}(t)}{k\ast N_{-}}=\frac{N_{-}(t)}{N_{-}}$。无论哪种情况，积分式大小不发生变化。

相比于其他评估指标，例如准确率、召回率和F1值，负样本下采样相当于只将一部分真实的负例排除掉了，然而模型并不能准确地识别出这些负例，所以用下采样后的样本来评估会高估准确率；因为采样只对负样本采样，正样本都在，所以采样对召回率并没什么影响。这两者结合起来，最终导致高估F1值！

AUC的计算

AUC可以直接根据ROC曲线，利用梯形积分进行计算。此外，还有一个比较有意思的是，可以 利用AUC与Wilcoxon-Mann-Whitney测试的U统计量的关系，来计算AUC。这可以从AUC的概率意义推导而来。

假设我们将测试集的正负样本按照模型预测得分从小到大排序，对于第$j$个正样本，假设它的排序为$r_j$，那么说明排在这个正样本前面的总样本有$r_j-1$个，其中正样本有$j-1$个，所以排在前面的负样本个数为$r_j-j$个。也就是说，对于第$j$个正样本来说，其得分比随机取的一个负样本大的概率为$(r_j-j)/N_{-}$，其中$N_{-}$是总的负样本数目。所以，平均下来，随机取的正样本得分比负样本大的概率为
$$\frac{1}{N}\sum _{j=1}^{N_{+}}(r_j-j)/N_{-}=\frac{{\sum }_{j=1}^{N_{+}}{r}_j-N_{+}(N_{+}+1)/2}{N_{+}{N}_{-}}$$
所以$$AUC=\frac{{\sum }_{j=1}^{N_{+}}{r}_j-N_{+}(N_{+}+1)/2}{N_{+}{N}_{-}}$$

一个更加简单的解释：
将得分从小到大排序，阈值t从$+\infty$到$-\infty$变化。当阈值右边增加一个正样本时，$TP$增加一个，这个正样本对面积的贡献率为$\frac{1}{N_{+}}\frac{r_j-j}{N_{-}}$，将所有的正样本贡献率加起来即是ROC面积。即为${\sum }_{j=1}^{N_{+}}\frac{1}{N_{+}}\frac{r_j-j}{N_{-}}=\frac{{\sum }_{j=1}^{N_{+}}{r}_j-N_{+}(N_{+}+1)/2}{N_{+}{N}_{-}}$。

AUC计算的其它形式

$$AUC=\frac{{\sum }_{i=1}^{N_{+}}{\sum }_{j=1}^{N_{-}}\delta (s_i^{+}-s_j^{-})}{N_{+}{N}_{-}}$$
其中当$x>0$时$\delta (x)=1$，当$x<0$时，$\delta (x)=0$，我们将$\delta$函数“软化”，即用$sigmoid$函数来替代，那么$AUC$就是可作为直接优化目标来进行微分。

$$softAUC=\frac{{\sum }_{i=1}^{N_{+}}{\sum }_{j=1}^{N_{-}}\sigma (s_i^{+}-s_j^{-})}{N_{+}{N}_{-}}$$

AUC的优化

采用极大似然估计对应的损失函数是logloss，因此极大似然估计的优化目标并不是AUC。在一些排序场景下，AUC比logloss更贴近目标，因此直接优化AUC可以达到比极大似然估计更好的结果。 实际上，pairwise的目标函数就可以看做一种对AUC的近似。因为损失函数都是作用与正负样本得分差之上！ 例如，

类别	优化目标
rank-SVM	$max(0,-s_{+}+s_{-}+\Delta )$
rank-net	$log(1+exp(-(s_{+}-s_{-})))$
指数损失	$exp(-(s_{+}-s_{-}))$
TOP损失	${\sum }_{s}max(0,-s_c+s+\Delta )$

显然，这些损失函数都是对$s_{+}<s_{-}$的正负样本对进行惩罚！此外，也有一些其它对AUC近似度更好的损失函数，例如
$$\begin{gathered} \mathbf{E}\left[(1-w^T(s_{+}-s_{-}){)}^2\right] \\ =\frac{1}{n_{+}{n}_{-}}\sum _{i=1}^{n_{+}}\sum _{j=1}^{n_{-}}(1-w^T(s_i^{+}-s_j^{-}){)}^2 \end{gathered}$$
$s_i^{+},s_j^{-}$分别表示正例和负例的得分。 这解释了为什么某些问题中，利用排序损失函数比logloss效果更好，因为在这些问题中排序比概率更重要！

AUC要到多少才算好的模型

AUC越大表示模型区分正例和负例的能力越强，那么AUC要达到多少才表示模型拟合的比较好呢？在实际建模中发现，预测点击的模型比预测下单的模型AUC要低很多，在月活用户里面预测下单和日常用户里面预测下单的AUC差异也很明显，预测用户未来1小时下单和预测未来1天下单的模型AUC差异也很大。这表明，AUC非常依赖于具体任务。

以预测点击和预测下单为例，下单通常决策成本比点击高很多，这使得点击行为比下单显得更加随意，也更加难以预测，所以导致点击率模型的AUC通常比下单率模型低很多。

那么月活用户和日活用户那个更容易区分下单与不下单用户呢？显然月活用户要容易一些，因为里面包含很多最近不活跃的用户，所以前者的AUC通常要高一些。

对于预测1小时和预测1天的模型，哪一个更加困难？因为时间越长，用户可能发生的意料之外的事情越多，也越难预测。举个极端的例子，预测用户下一秒中内会干啥，直接预测他会做正在干的事情即可，这个模型的准确率就会很高，但是预测长期会干啥就很困难了。所以对于这两个模型，后者更加困难，所以AUC也越低。