前言：跳表本质是一种查找结构，相较于AVL树、红黑树、哈希表，实现起来要更加简单，而且效率也不差。
一.Skiplist概念
跳表本质也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树（AVL树、红黑树）和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。
跳表Skiplist，它是一个list，它是阿紫有序链表的基础上发展起来的。
跳表思路：
① 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
② 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一
个指针，从而产生第三层链表，这样搜索效率就进一步提高了。
③ skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。
④ skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程如下图：
二.Skiplist效率
一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率p。
因此，产生越高的节点层数，概率越低：
① 节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。
② 节点层数恰好等于1的概率为1-p。
③ 节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。
④ 节点层数大于等于3的概率为p^2，而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。
⑤ 节点层数大于等于4的概率为p^3，而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。
因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：：
三.Skiplist实现
这里有一道跳表的OJ题：1206. 设计跳表
我们根据这个OJ题来实现跳表。
实现：
首先是这个SkiplistNode，里面的_val是要存的值，_nextV是一个存指针的数组，我们要通过这个_nextV来实现分层的链接操作。
struct SkiplistNode
{int _val;vector<SkiplistNode*> _nextV;SkiplistNode(int val, int level): _val(val), _nextV(level, nullptr){}
};接下来是构造函数和私有成员。私有成员为方便链接的头节点，最大层数和概率。
class Skiplist
{typedef SkiplistNode Node;
public:Skiplist() {srand(time(0));// 头节点，层数为1_head = new SkiplistNode(-1, 1);}
private:Node* _head;size_t _maxLevel = 32;double _p = 0.5;
}查找函数实现就要利用跳表的特性去查找。
循环查找，条件为level>=0（level是层数，层数不能为负，为负说明找不到了），如果要查找的目标值比下一个结点值要大（要先保证下一个结点不为空），那么就往右走；如果下一个结点为空（为空说明到尾了）或者目标值比下一个结点值要小，那么就向下走（下面有更多结点）；如果相等了就找到了。
bool search(int target)
{Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;while(level >= 0){// 目标值比下一个结点值要大，就向右走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target){cur = cur->_nextV[level];}// 下一个结点为空（说明到尾了），或者目标值比下一个结点值要小，向下走else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target){--level;}else{return true;}}return false;
}接下来实现add函数：
要想插入一个新的值，就要先找到该插入值的前一个结点指针，因为这个是多层的，因此要找到每一层的前一个结点指针。而进行删除操作也需要找到每一层前一个结点指针，所以这里实现函数FindPrevNode。
这个FindPrevNode类型与前面的查找函数，只是这里如果不向右走，就向下走，在向下走前，先将这个结点指针存入prevV中。循环结束就得到了每一层的前一个结点指针。
接着实现得到随机层数的函数（这个随机并不是真正的随机，具体在上面），这里的RAND_MAX是随机数的最大值，而rand() <= RAND_MAX * _p，就可以实现这个层数越高，概率越低的随机层数（比较平均）。
然后再根据这个层数去创建对应的结点，如果这个层数比当前最大层数还大，就升高_head的层数。最后再链接起来前后的结点（这里要先链接新结点的，再让前一个链接这个新结点），完成插入操作。
// 获得随机层数
int RandomLevel()
{size_t level = 1;while(rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel){++level;}return level;
}// 找到插入或删除前一个每一层的结点指针数组
vector<Node*> FindPrevNode(int num)
{Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;vector<Node*> prevV(level + 1, _head);// 插入每一层前一个结点指针while(level >= 0){// 这里类似查找函数if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num){// 向右走cur = cur->_nextV[level];}else{// 更新level层的前一个prevV[level] = cur;// 向下走--level;}}return prevV;
}void add(int num)
{// 先得到前一个每一层的结点指针数组vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 随机层数int n = RandomLevel();// 根据层数创建结点Node* newnode = new Node(num, n);// 如果n超过当前最大的层数，就升高一下_head的层数if(n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}// 链接前后结点for(size_t i = 0; i < n; ++i){newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newnode;}
}最后实现erase删除函数：
首先也是先得到前一个每一层的结点指针数组，又因为得到了prevV，所以如果prevV的第一层的下一个值不是val，就一定说明val不在跳表中。
如果在，那么就先保存要删除结点的下一层的各个结点指针，并将前一个每一层的结点指针链接到下一层的结点指针上，并delete掉即可。最后我们再判断一下这个删除掉的结点是否是最高的结点，如果是，就把头节点的层数降到当前最高层数，
bool erase(int num)
{// 先得到前一个每一层的结点指针数组vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 前面得到了prevV，因此// 如果第一层的下一个不是val，那么说明val不在表中if(prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num){return false;}else{Node* del = prevV[0]->_nextV[0];// del结点每一层的前后指针链接起来for(size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}delete del;// 如果删除了最高层的结点，就把头节点的层数降一下int i = _head->_nextV.size() - 1;while(i >= 0){if(_head->_nextV[i] == nullptr)--i;elsebreak;}_head->_nextV.resize(i + 1);return true;}
}总代码：
struct SkiplistNode
{int _val;vector<SkiplistNode*> _nextV;SkiplistNode(int val, int level): _val(val), _nextV(level, nullptr){}
};class Skiplist {typedef SkiplistNode Node;
public:Skiplist() {srand(time(0));// 头节点，层数为1_head = new SkiplistNode(-1, 1);}bool search(int target) {Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;while(level >= 0){// 目标值比下一个结点值要大，就向右走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target){cur = cur->_nextV[level];}// 下一个结点时空（说明到尾了），或者目标值比下一个结点值要小，向下走else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target){--level;}else{return true;}}return false;}// 找到插入或删除前一个每一层的结点指针数组vector<Node*> FindPrevNode(int num){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;vector<Node*> prevV(level + 1, _head);// 插入每一层前一个结点指针while(level >= 0){// 这里类似查找函数if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num){// 向右走cur = cur->_nextV[level];}else{// 更新level层的前一个prevV[level] = cur;// 向下走--level;}}return prevV;}void add(int num) {// 先得到前一个每一层的结点指针数组vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 随机层数int n = RandomLevel();// 根据层数创建结点Node* newnode = new Node(num, n);// 如果n超过当前最大的层数，就升高一下_head的层数if(n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}// 链接前后结点for(size_t i = 0; i < n; ++i){newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newnode;}}bool erase(int num) {// 先得到前一个每一层的结点指针数组vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 前面得到了prevV，因此// 如果第一层的下一个不是val，那么说明val不在表中if(prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num){return false;}else{Node* del = prevV[0]->_nextV[0];// del结点每一层的前后指针链接起来for(size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}delete del;// 如果删除了最高层的结点，就把头节点的层数降一下int i = _head->_nextV.size() - 1;while(i >= 0){if(_head->_nextV[i] == nullptr)--i;elsebreak;}_head->_nextV.resize(i + 1);return true;}}// int RandomLevel()// {// static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());// static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);// size_t level = 1;// while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)// {// ++level;// }// return level;// }// 获得随机层数int RandomLevel(){size_t level = 1;while(rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel){++level;}return level;}
private:Node* _head;size_t _maxLevel = 32;double _p = 0.5;
};四.Skiplist与平衡搜索树和哈希表的对比
1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差
不多。skiplist的优势是：① skiplist实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂。② skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33；
2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言：① 哈希表平均时间复杂度是O(1)，比skiplist快。② 哈希表空间消耗略多一点。skiplist优势如下：① 遍历数据有序。② skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。③ 哈希表扩容有性能损耗。④ 哈希表再极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。
