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SkipList在leveldb以及lucence中都广为使用，是比较高效的数据结构。由于它的代码以及原理实现的简单性，更为人们所接受。我们首先看看SkipList的定义，为什么叫跳跃表？
“ Skip lists are data structures that use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing. As a result, the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees. ”
译文：跳跃表使用概率均衡技术而不是使用强制性均衡，因此，对于插入和删除结点比传统上的平衡树算法更为简洁高效。
我们看一个图就能明白，什么是跳跃表，如图1所示：
图1：跳跃表简单示例
如上图所示，是一个即为简单的跳跃表。传统意义的单链表是一个线性结构，向有序的链表中插入一个节点需要O(n)的时间，查找操作需要O(n)的时间。如果我们使用图1所示的跳跃表，就可以减少查找所需时间为O(n/2)，因为我们可以先通过每个节点的最上面的指针先进行查找，这样子就能跳过一半的节点。比如我们想查找19，首先和6比较，大于6之后，在和9进行比较，然后在和12进行比较......最后比较到21的时候，发现21大于19，说明查找的点在17和21之间，从这个过程中，我们可以看出，查找的时候跳过了3、7、12等点，因此查找的复杂度为O(n/2)。查找的过程如下图2：
图2：跳跃表查找操作简单示例
其实，上面基本上就是跳跃表的思想，每一个结点不单单只包含指向下一个结点的指针，可能包含很多个指向后续结点的指针，这样就可以跳过一些不必要的结点，从而加快查找、删除等操作。对于一个链表内每一个结点包含多少个指向后续元素的指针，这个过程是通过一个随机函数生成器得到，这样子就构成了一个跳跃表。这就是为什么论文“Skip Lists : A Probabilistic Alternative to Balanced Trees ”中有“概率”的原因了，就是通过随机生成一个结点中指向后续结点的指针数目。随机生成的跳跃表可能如下图3所示：
图3：随机生成的跳跃表
跳跃表的大体原理，我们就讲述到这里。下面我们将从如下几个方面来探讨跳跃表的操作：
1、重要数据结构定义
2、初始化表
3、查找
4、插入
5、删除
6、随机数生成器
7、释放表
8、性能比较
（一）重要数据结构定义
从图3中，我们可以看出一个跳跃表是由结点组成，结点之间通过指针进行链接。因此我们定义如下数据结构：
//定义key和value的类型
typedef int KeyType;
typedef int ValueType;//定义结点
typedef struct nodeStructure* Node;
struct nodeStructure{KeyType key;ValueType value;Node forward[1];
};//定义跳跃表
typedef struct listStructure* List;
struct listStructure{int level;Node header;
};（二）初始化表
初始化表主要包括两个方面，首先就是header节点和NIL结点的申请，其次就是List资源的申请。
void SkipList::NewList(){//设置NIL结点NewNodeWithLevel(0, NIL_);NIL_->key = 0x7fffffff;//设置链表Listlist_ = (List)malloc(sizeof(listStructure));list_->level = 0;//设置头结点NewNodeWithLevel(MAX_LEVEL,list_->header);for(int i = 0; i < MAX_LEVEL; ++i){list_->header->forward[i] = NIL_;}//设置链表元素的数目size_ = 0;
}void SkipList::NewNodeWithLevel(const int& level,Node& node){//新结点空间大小int total_size = sizeof(nodeStructure) + level*sizeof(Node);//申请空间node = (Node)malloc(total_size);assert(node != NULL);
}其中，NewNodeWithLevel是申请结点（总共level层）所需的内存空间。NIL_节点会在后续全部代码实现中可以看到。
（三）查找
查找就是给定一个key，查找这个key是否出现在跳跃表中，如果出现，则返回其值，如果不存在，则返回不存在。我们结合一个图就是讲解查找操作，如下图4所示：
图4：查找操作前的跳跃表
如果我们想查找19是否存在？如何查找呢？我们从头结点开始，首先和9进行判断，此时大于9，然后和21进行判断，小于21，此时这个值肯定在9结点和21结点之间，此时，我们和17进行判断，大于17，然后和21进行判断，小于21，此时肯定在17结点和21结点之间，此时和19进行判断，找到了。具体的示意图如图5所示：
图5：查找操作后的跳跃表
bool SkipList::Search(const KeyType& key,ValueType& value){Node x = list_->header;int i;for(i = list_->level; i >= 0; --i){while(x->forward[i]->key < key){x = x->forward[i];}}x = x->forward[0];if(x->key == key){value = x->value;return true;}else{return false;}
}（四）插入
插入包含如下几个操作：1、查找到需要插入的位置 2、申请新的结点 3、调整指针。
我们结合下图6进行讲解，查找如下图的灰色的线所示 申请新的结点如17结点所示， 调整指向新结点17的指针以及17结点指向后续结点的指针。这里有一个小技巧，就是使用update数组保存大于17结点的位置，这样如果插入17结点的话，就指针调整update数组和17结点的指针、17结点和update数组指向的结点的指针。update数组的内容如红线所示，这些位置才是有可能更新指针的位置。
图6：插入操作示意图（感谢博主：来自cnblogs的qiang.xu ）
bool SkipList::Insert(const KeyType& key,const ValueType& value){Node update[MAX_LEVEL];int i;Node x = list_->header;//寻找key所要插入的位置//保存大于key的位置信息for(i = list_->level; i >= 0; --i){while(x->forward[i]->key < key){x = x->forward[i];}update[i] = x;}x = x->forward[0];//如果key已经存在if(x->key == key){x->value = value;return false;}else{//随机生成新结点的层数int level = RandomLevel();//为了节省空间，采用比当前最大层数加1的策略if(level > list_->level){level = ++list_->level;update[level] = list_->header;}//申请新的结点Node newNode;NewNodeWithLevel(level, newNode);newNode->key = key;newNode->value = value;//调整forward指针for(int i = level; i >= 0; --i){x = update[i];newNode->forward[i] = x->forward[i];x->forward[i] = newNode;}//更新元素数目++size_;return true;}
}（五）删除
删除操作类似于插入操作，包含如下3步：1、查找到需要删除的结点 2、删除结点 3、调整指针
图7：删除操作示意图（感谢博主qiang.xu 来自cnblogs）
bool SkipList::Delete(const KeyType& key,ValueType& value){Node update[MAX_LEVEL];int i;Node x = list_->header;//寻找要删除的结点for(i = list_->level; i >= 0; --i){while(x->forward[i]->key < key){x = x->forward[i];}update[i] = x;}x = x->forward[0];//结点不存在if(x->key != key){return false;}else{value = x->value;//调整指针for(i = 0; i <= list_->level; ++i){if(update[i]->forward[i] != x)break;update[i]->forward[i] = x->forward[i];}//删除结点free(x);//更新level的值，有可能会变化，造成空间的浪费while(list_->level > 0&& list_->header->forward[list_->level] == NIL_){--list_->level;}//更新链表元素数目--size_;return true;}
}（六）随机数生成器
再向跳跃表中插入新的结点时候，我们需要生成该结点的层数，使用的就是随机数生成器，随机的生成一个层数。这部分严格意义上讲，不属于跳跃表的一部分。随机数生成器说简单很简单，说难很也很难，看你究竟是否想生成随机的数。可以采用c语言中srand以及rand函数，也可以自己设计随机数生成器。
此部分我们采用levelDB随机数生成器：
// Copyright (c) 2011 The LevelDB Authors. All rights reserved.
// Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
// found in the LICENSE file. See the AUTHORS file for names of contributors.#include <stdint.h>//typedef unsigned int uint32_t;
//typedef unsigned long long uint64_t;// A very simple random number generator. Not especially good at
// generating truly random bits, but good enough for our needs in this
// package.
class Random {private:uint32_t seed_;public:explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) {// Avoid bad seeds.if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) {seed_ = 1;}}uint32_t Next() {static const uint32_t M = 2147483647L; // 2^31-1static const uint64_t A = 16807; // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0// We are computing// seed_ = (seed_ * A) % M, where M = 2^31-1//// seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values// will be zero or M respectively. For all other values, seed_ will end// up cycling through every number in [1,M-1]uint64_t product = seed_ * A;// Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> 31) + (product & M));// The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to// repeat. mod == M is not possible; using > allows the faster// sign-bit-based test.if (seed_ > M) {seed_ -= M;}return seed_;}// Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1]// REQUIRES: n > 0uint32_t Uniform(int n) { return (Next() % n); }// Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise.// REQUIRES: n > 0bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == 0; }// Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then// return "base" random bits. The effect is to pick a number in the// range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers.uint32_t Skewed(int max_log) {return Uniform(1 << Uniform(max_log + 1));}
};
其中核心的是 seed_ = (seed_ * A) % M这个函数，并且调用一次就重新更新一个种子seed。以达到随机性。
根据个人喜好，自己可以独立设计随机数生成器，只要能够返回一个随机的数字即可。
（七）释放表
释放表的操作比较简单，只要像单链表一样释放表就可以，释放表的示意图8如下：
图8：释放表
void SkipList::FreeList(){Node p = list_->header;Node q;while(p != NIL_){q = p->forward[0];free(p);p = q;}free(p);free(list_);
}（八）性能比较
我们对跳跃表、平衡树等进行比较，如下图9所示：
图9：性能比较图
从中可以看出，随机跳跃表表现性能很不错，节省了大量复杂的调节平衡树的代码。
========自己开发的源代码，部分参照qiang.xu====================
下面我将自己用C++实现的代码贴出来，总共包含了如下几个文件：
1、Main.cpp 主要用于测试SkipList
2、skiplist.h 接口声明以及重要数据结构定义
3、skiplist.cpp 接口的具体实现
4、random.h 随机数生成器
--------------------------------------Main.cpp----------------------------------------------------
//此文件用于测试skiplist
//
//@作者：张海波
//@时间：2013-12-17
//@版权：个人所有#include "skiplist.h"
#include <iostream>using namespace std;int main(int argc, char** argv)
{cout << "test is starting ....." << endl;SkipList list;//测试插入for(int i = 0; i < 100; ++i){list.Insert(i, i+10);//cout << list.GetCurrentLevel() << endl;}cout << "The number of elements in SkipList is :" << list.size() << endl;if(list.size() != 100){cout << "Insert failure." << endl;}else{cout << "Insert success." << endl;}//测试查找bool is_search_success = true;for(int i = 0; i < 100; ++i){int value;if(!(list.Search(i,value) && (value == i+10))){is_search_success = false;break;}}if(is_search_success){cout << "Search success." << endl;}else{cout << "Search failure." << endl;}//测试删除bool is_delete_success = true;for(int i = 0; i < 100; ++i){int value;if(!(list.Delete(i,value) && (value == i+10))){is_delete_success = false;break;}}if(is_delete_success){cout << "Delete success." << endl;}else{cout << "Delete failure." << endl;}cout << "test is finished ...." << endl;return 0;
}
--------------------------------------------------skiplist.h---------------------------------------------------
//跳表实现
//
//参考文章为：Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees
//
//提供如下接口：
// Search：搜索给定key的值
// Insert：插入指定的key及value
// Delete：删除指定的key
//
//@作者： 张海波
//@时间： 2013-12-17
//@版权： 个人所有
//#include <stddef.h>
#include "random.h"//定义调试开关
#define Debug//最大层数
const int MAX_LEVEL = 16;//定义key和value的类型
typedef int KeyType;
typedef int ValueType;//定义结点
typedef struct nodeStructure* Node;
struct nodeStructure{KeyType key;ValueType value;Node forward[1];
};//定义跳跃表
typedef struct listStructure* List;
struct listStructure{int level;Node header;
};class SkipList{
public://初始化表结构SkipList():rnd_(0xdeadbeef){ NewList(); }//释放内存空间~SkipList(){ FreeList(); }//搜索key，保存结果至value//找到，返回true//未找到，返回falsebool Search(const KeyType& key,ValueType& value);//插入key和valuebool Insert(const KeyType& key,const ValueType& value);//删除key,保存结果至value//删除成功返回true//未删除成功返回falsebool Delete(const KeyType& key,ValueType& value);//链表包含元素的数目int size(){ return size_; }//打印当前最大的levelint GetCurrentLevel();
private://初始化表void NewList();//释放表void FreeList();//创建一个新的结点，结点的层数为levelvoid NewNodeWithLevel(const int& level,Node& node);//随机生成一个levelint RandomLevel();
private: List list_;Node NIL_;//链表中包含元素的数目size_t size_;//随机器生成器Random rnd_;
};
-------------------------------------------------------------skiplist.cpp-----------------------------------------------------
//skiplist头文件重要函数实现
//
//@作者：张海波
//@时间：2013-12-17
//@版权：个人所有#include "skiplist.h"
#include "time.h"
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <iostream>using namespace std;void DebugOutput(const string& information){
#ifdef Debugcout << information << endl;
#endif
}void SkipList::NewList(){//设置NIL结点NewNodeWithLevel(0, NIL_);NIL_->key = 0x7fffffff;//设置链表Listlist_ = (List)malloc(sizeof(listStructure));list_->level = 0;//设置头结点NewNodeWithLevel(MAX_LEVEL,list_->header);for(int i = 0; i < MAX_LEVEL; ++i){list_->header->forward[i] = NIL_;}//设置链表元素的数目size_ = 0;
}void SkipList::NewNodeWithLevel(const int& level,Node& node){//新结点空间大小int total_size = sizeof(nodeStructure) + level*sizeof(Node);//申请空间node = (Node)malloc(total_size);assert(node != NULL);
}void SkipList::FreeList(){Node p = list_->header;Node q;while(p != NIL_){q = p->forward[0];free(p);p = q;}free(p);free(list_);
}bool SkipList::Search(const KeyType& key,ValueType& value){Node x = list_->header;int i;for(i = list_->level; i >= 0; --i){while(x->forward[i]->key < key){x = x->forward[i];}}x = x->forward[0];if(x->key == key){value = x->value;return true;}else{return false;}
}bool SkipList::Insert(const KeyType& key,const ValueType& value){Node update[MAX_LEVEL];int i;Node x = list_->header;//寻找key所要插入的位置//保存大约key的位置信息for(i = list_->level; i >= 0; --i){while(x->forward[i]->key < key){x = x->forward[i];}update[i] = x;}x = x->forward[0];//如果key已经存在if(x->key == key){x->value = value;return false;}else{//随机生成新结点的层数int level = RandomLevel();//为了节省空间，采用比当前最大层数加1的策略if(level > list_->level){level = ++list_->level;update[level] = list_->header;}//申请新的结点Node newNode;NewNodeWithLevel(level, newNode);newNode->key = key;newNode->value = value;//调整forward指针for(int i = level; i >= 0; --i){x = update[i];newNode->forward[i] = x->forward[i];x->forward[i] = newNode;}//更新元素数目++size_;return true;}
}bool SkipList::Delete(const KeyType& key,ValueType& value){Node update[MAX_LEVEL];int i;Node x = list_->header;//寻找要删除的结点for(i = list_->level; i >= 0; --i){while(x->forward[i]->key < key){x = x->forward[i];}update[i] = x;}x = x->forward[0];//结点不存在if(x->key != key){return false;}else{value = x->value;//调整指针for(i = 0; i <= list_->level; ++i){if(update[i]->forward[i] != x)break;update[i]->forward[i] = x->forward[i];}//删除结点free(x);//更新level的值，有可能会变化，造成空间的浪费while(list_->level > 0&& list_->header->forward[list_->level] == NIL_){--list_->level;}//更新链表元素数目--size_;return true;}
}int SkipList::RandomLevel(){ int level = static_cast<int>(rnd_.Uniform(MAX_LEVEL));if(level == 0){level = 1;}//cout << level << endl;return level;
}int SkipList::GetCurrentLevel(){return list_->level;
}
-----------------------------------------------------------random.h-------------------------------------------------------
// Copyright (c) 2011 The LevelDB Authors. All rights reserved.
// Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
// found in the LICENSE file. See the AUTHORS file for names of contributors.#include <stdint.h>//typedef unsigned int uint32_t;
//typedef unsigned long long uint64_t;// A very simple random number generator. Not especially good at
// generating truly random bits, but good enough for our needs in this
// package.
class Random {private:uint32_t seed_;public:explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) {// Avoid bad seeds.if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) {seed_ = 1;}}uint32_t Next() {static const uint32_t M = 2147483647L; // 2^31-1static const uint64_t A = 16807; // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0// We are computing// seed_ = (seed_ * A) % M, where M = 2^31-1//// seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values// will be zero or M respectively. For all other values, seed_ will end// up cycling through every number in [1,M-1]uint64_t product = seed_ * A;// Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> 31) + (product & M));// The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to// repeat. mod == M is not possible; using > allows the faster// sign-bit-based test.if (seed_ > M) {seed_ -= M;}return seed_;}// Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1]// REQUIRES: n > 0uint32_t Uniform(int n) { return (Next() % n); }// Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise.// REQUIRES: n > 0bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == 0; }// Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then// return "base" random bits. The effect is to pick a number in the// range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers.uint32_t Skewed(int max_log) {return Uniform(1 << Uniform(max_log + 1));}
};
上述程序运行的结果如下图所示：
