目录
- 前言
- 往期文章
- 2.2 标准正交基与Gram-Schmidt过程
- 2.2.1 标准正交基
- 定义2.4
- 定理2.2.1
- 定义2.5
- 2.2.2 求标准正交基的Schmide方法
- 定理2.2.2
- 举例
- 结语
前言
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简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
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2.2 标准正交基与Gram-Schmidt过程
2.2.1 标准正交基
定义2.4
在欧式空间 V V V中，一组不含零向量的向量组 α 1 , . . . α s \alpha_1,...\alpha_s α1,...αs，如果其中任意两向量都正交，则称为一个正交向量组
定理2.2.1
正交向量组是线性无关的
证明
设 α 1 , . . . , α s \alpha_1,...,\alpha_s α1,...,αs是正交向量组， k 1 , . . . , k s ∈ R k_1,...,k_s\in R k1,...,ks∈R，令
k 1 α 1 + . . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1 + .... + k_s\alpha_s = \boldsymbol0 k1α1+....+ksαs=0
对于任意的向量 α i ( i = 1 , 2 , . . , s ) \alpha_i(i=1,2,..,s) αi(i=1,2,..,s)，有
( k 1 α 1 + . . . + k s α s , α i ) = 0 (k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s,\alpha_i)=0 (k1α1+...+ksαs,αi)=0
因为 k 1 α 1 + . . . . + k s α s = 0 、 ( 0 , α ) = 0 k_1\alpha_1 + .... + k_s\alpha_s = \boldsymbol0、( \boldsymbol0,\alpha)=0 k1α1+....+ksαs=0、(0,α)=0
所以 ( k 1 α 1 + . . . + k s α s , α i ) = 0 (k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s,\alpha_i)=0 (k1α1+...+ksαs,αi)=0
又
( k 1 α 1 + . . . + k s α s , α i ) = k 1 ( α 1 , α i ) + k 2 ( α 2 , α i ) + . . . + k s ( α s , α i ) = k i ( α i , α i ) ( 因 为 a i 与 其 余 向 量 a j , i ≠ j 都 正 交 ， ( a i , a j ) = 0 ) \qquad(k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s,\alpha_i)\\ \quad \\ =k_1(\alpha_1,\alpha_i)+k_2(\alpha_2,\alpha_i)+...+k_s(\alpha_s,\alpha_i)\\ \quad \\ =k_i(\alpha_i,\alpha_i)\quad(因为a_i与其余向量a_j,i\neq j都正交，(a_i,a_j)=0) (k1α1+...+ksαs,αi)=k1(α1,αi)+k2(α2,αi)+...+ks(αs,αi)=ki(αi,αi)(因为ai与其余向量aj,i=j都正交，(ai,aj)=0)
可以得到
0 = k i ( α i , α i ) 0 =k_i(\alpha_i,\alpha_i) 0=ki(αi,αi)
又因为
α i ≠ 0 \alpha_i\neq \boldsymbol0 αi=0
正交向量组中是没有零向量的（见定义2.4）
推出
k i = 0 ( i = 1 , 2 , . . . , s ) k_i=0\quad(i=1,2,...,s) ki=0(i=1,2,...,s)
Notes
- n n n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过 n n n个
- n n n个两两正交的非零向量可以作为 n n n维欧氏空间的基
定义2.5
在 n n n维欧氏空间中，由 n n n个向量构成的正交向量组称为正交基
由单位向量组成的正交基叫做标准正交基
2.2.2 求标准正交基的Schmide方法
定理2.2.2
n n n维欧氏空间必定有标准正交基
举例
把向量组 α 1 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) , α 2 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) , α 3 = ( − 1 , 0 , 0 , 1 ) , α 4 = ( 1 , − 1 , − 1 , 1 ) \alpha_1=(1,1,0,0),\alpha_2=(1,0,1,0),\alpha_3=(-1,0,0,1),\alpha_4=(1,-1,-1,1) α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α3=(−1,0,0,1),α4=(1,−1,−1,1)正交化、标准化
解答
结语
说明：
- 参考于 课本《矩阵理论》
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正
