万向锁(Gimbal lock)问题的理解及解决

万向锁（Gimbal lock）： 一旦选择±90°作为pitch角，就会导致第一次旋转和第三次旋转等价，整个旋转表示系统被限制在只能绕竖直轴旋转，丢失了一个表示维度。

对于万向锁的问题，只有在动态欧拉角中出现，而静态欧拉角不存在万向锁的问题！！！

• 静态： 即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静止，所以称为静态，此时各个变换顺序的旋转矩阵是左乘的

• 动态： 即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态，此时各个变换顺序的旋转矩阵是右乘的

• 内旋Intrinsic rotations：绕运动轴

• 外旋 Extrinsic rotations： 绕固定轴
  

不管采用哪种欧拉角，只要中间的变换旋转90°就会发生Gimbal lock问题！！！

案例1：
一个典型的万向锁问题可以表述如下：先heading45°再pitch90°，这与先pitch90°再bank45°是等价的。事实上，一旦选择±90°作为pitch角，就会导致第一次旋转和第三次旋转等价，整个旋转表示系统被限制在只能绕竖直轴旋转，丢失了一个表示维度。这种角度为±90°的第二次旋转使得第一次和第三次旋转的旋转轴相同的现象，称作万向锁。

案例2：

首先确定手机的物体坐标系朝向，假设z轴与手机屏幕垂直（手机平放于桌面）指向上方，手机较短的一条边为x轴，较长的一条边为y轴（方向由手机尾部指向头部），物体坐标系的原点是手机左下角的顶点。（注意旋转顺序为zyx）

绕z轴旋转任意角度（注意x和y轴也跟着一起旋转），再绕y轴旋转90°，再绕x轴旋转任意角度。通过多次尝试，会发现一个共同点：z轴永远是水平的， 通俗的说，手机永远也不会立起来（旋转形成的三维空间是固定的）！本来以为手机会指向任何方向，但实际上手机好像是被锁在桌面上，只能指向水平的某个方向，这个现象就称为万向锁。

而如果绕y轴旋转不等于90°（1°也好89°也好），只要选择适当的绕x和z的角度，就可以让手机指向三维空间中的任何一个方向，手机是自由的（旋转产生的三维空间不会完全重叠），也就不会遇到万向锁现象。

2. 解决方案

（1）使用四元数来解决

将欧拉角转换为四元数，对四元数进行slerp插值，再将这一系列四元数转换为对应的欧拉角，而后作用于目标。

缺点是耗费一定的内存，但目标可以任意旋转，灵活度高。

（2）为什么要使用四元数

一是由于万向锁的问题，二是插值的时候直接对RPY插值可能导致不平滑，插值结果可能有跳跃；

而且四元数表示旋转，计算次数更少，最关键的一点是它非常非常非常适合插值！！！

最常用的是球面线性插值~

但要注意：使用四元数插值时，插值结果需要进行归一化（有些地方也叫规范化或者规格化），否则单位长度会发生变化！！！

3. 欧拉角与四元数的对应

欧拉角(pitch yaw roll)	←→	四元数(第一个值是实部，后面三个是虚部)
0.0, 0.0, 0.0	←→	1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000
90.0, 0.0, 0.0	←→	0.707107, 0.707107, 0.000000, 0.000000
0.0, 90.0, 0.0	←→	0.707107, 0.000000, 0.707107, 0.000000
0.0, 0.0, 90.0	←→	0.707107, 0.000000, 0.000000, 0.707107

4. 使用四元数时的注意事项

注意不要将一个绕RPY的旋转使用三个四元数来描述，旋转完再转换回去发现卵用没有，仍会出现Gimbal Lock问题！！！

正确的姿势应该将RPY这个绕三轴的三次变换，当成一次变换，使用四元数来描述！！！

注意：这里说的是动态欧拉角

使用四元数变换完记得要对改变后的四元数进行Normalize（规范化）！！！

仔细理解该文中的例子：传送门

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参考文献：

• https://blog.csdn.net/hangl_ciom/article/details/98170231
• https://blog.csdn.net/lmonkey000/article/details/51001753
• https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%87%E5%90%91%E9%94%81/15817326?fr=aladdin
• https://www.cnblogs.com/psklf/p/5656938.html
• https://www.cnblogs.com/psklf/p/5667593.html
• https://www.qiujiawei.com/quaternion3/
• https://www.qiujiawei.com/quaternion4/
• https://www.cnblogs.com/ymd12103410/p/9985063.html