伯努利分布

记住这种分布的话，就开始想抛硬币，只抛一次硬币。正面朝上的概率是p,反面朝上的概率是q。k=1

二项分布

这种分布也是抛硬币，只不过是抛多次硬币。B（n,p) 也就是这里面总共有两个参数，一个是n，另外一个是p。n是总共抛硬币的总数，p是正面朝上的概率，那个反面朝上的概率就是1-p。

对于抛硬币，我们可以想象两种不同的过程。
第一种过程是我们最终的目的是要估计总体的参数，也就是p，也就是给我很多样本，让我估计这两个值。就相当于是让我抛硬币，抛很多次，记录每一次是正面朝上还是反面朝上，那么我抛的次数越多，最终得到的p的值就准确。
第二种就是高中数学常考的题目，就我们根据常识已经知道抛一次硬币的话，正面朝上的概率是1/2,也就是我们已经知道总体的参数了，然后给我说，我抛8次硬币，2正面朝上的概率是多少。这时候我们可以用概率质量函数来求P（x)=C2 8 (1/2) 2(1-1/2)6 。在这个过程中，我们求的是概率。

上面这两个过程分别是求似然和求概率的过程。第一个过程可以表示成为L（p|A),第二个过程可以表示为P（A|p)，这里面的p就是那个总体参数，A就是抛1次，2次，3次……这样的抛硬币的过程。
并且L（p|A)=P(A|p)。

举例
https://www-pnas-org.eproxy.lib.hku.hk/doi/full/10.1073/pnas.1419161111#eq3
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0002929720302354
这篇文章中使用了二项分布
在这里只考虑了两种情况
在这里插入图片描述

接下来开启类比模式：
在RNA-seq中，经过测序，我们得到n个reads, 根据上面这两张图，我们把reads分成两类，一类是比对到 exon inclusion isoform 上的reads，另外一类是比对到exon skipping isoform上的reads 。
上面的过程就类比成了抛硬币，总共抛了n次硬币，每一次有两种可能性，比对到exon inclusion isoform上（正面朝上），比对到exon skipping isoform （反面朝上）。
在科研里面我们都是要求参数，在这里面也就是求p ，也就是抛硬币里面的1/2。因为我们有很多个样本，我们是想根据这些所有的样本得到一个总体的参数。根据这些给出的样本，我们可以计算出来L（p|A），然后再根据最大似然，求出参数p。
接下来我们就看看文章中方法部分的公式：
在这里插入图片描述
在这里面最终要估计的参数是psi, I是能够比对到exon inclusion isoform上的count数，S是能够比对到exon exclusion isoform上的count数。p是来自exon inclusion isoform的reads的比例。
把上面的话用硬币的方式来表示应该就是：在给定p的情况下，总共抛了n次硬币，正面朝上的概率是多少。然后这个p指的就是正面朝上的概率，它对应的应该就是这个reads 比对到exon inclusion isoform的比例。 n是总共的reads数，通过样本，我们可以得到p，但是我们的目的是求psi，也就是isoform 1 /(isoform1 +isoform2) .。 p和psi 之间的关系可以通过f(PSI) 这个函数表示出来。在其中加入两种isoform 的effect length。

多项分布

多项分布可以看成是掷色子，可能出现的结果有多个。每一次掷色子是离散随机变量。

举个例子
https://genomebiology.biomedcentral.com/articles/10.1186/s13059-021-02461-5#Sec8
理解了二项分布的过程，多项分布就很容易了。
在这里插入图片描述
在这里把reads比对到isoform的过程分成了三种类型，第一种就是直接比对到isoform1上的，第二种是比对到isoform2上的，第三种是ambiguous reads 。

在这里我们可以根据多个样本计算出每一个细胞，每一个基因的ψ值，因为每一个reads属于哪一个isoform服从多项分布。ρ是每一种类型的reads占总数的reads的比例，然后ρ和psi的关系用公式1来表示。