在学完一维的傅里叶变换后，紧接着就是二维的傅里叶变换了。直接上干货吧！！！
途中会用到opencv读取与显示图片。
一. 公式
- M表示图像的行数，N表示图像的列数。
- 经过欧拉公式可以得一下形式，这样就可以轻松得到实部和虚部了。
- 其逆变换
4. 将傅里叶保护后的图像中心化。只需要在傅里叶变换的f(x,y)前面成以一个（-1）的x+y次方就可以了。其数学推导可以自行去百度。
看完上面的公式之后，下面开始编程实现拉，使用的是C++。
二. 编程实现DTF
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代码中有详细的注释。就不在这里作过多的解释了。
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头文件包含及以下宏定义
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include<opencv2/core/core.hpp>
#include<iostream>
#include<opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;#define PI 3.1415926535 //定义π
#define col 100 //图像的行数为100，再大的话运算量太大的。
#define row 100 //图像的列数为100。
- 类的定义
class FFT {
private:double img[col][row]; //保存输入的数据，输入的数据只有实部double re[col][row]; //保存DFT后的实部double im[col][row]; //保存DFT后的虚部Mat a = imread("1.jpg", 0); //读取图像
public:void init(); //将读取的图像数据写入img中void dft(); //进行DFT变换void idft(); //进行DFT逆变换void reserve();void fudu(); //计算幅度值。void show();
};
- init()函数
void FFT::init()
{int b;resize(a, a, Size(100, 100)); //将图像resize到（100,100）for (int i = 0; i < 100; i++){for (int j = 0; j < 100; j++){b = a.at<uchar>(i, j); //得到每一个像素值img[i][j] = b;}}
}
- dft()函数
void FFT::dft()
{double a, b;for(int n=0;n<col;n++)for (int m = 0; m < row; m++){a = 0.0;b = 0.0;for (int i = 0; i < col; i++){for (int j = 0; j < row; j++){//根据公式列表达式a += pow(-1, i + j)*img[i][j] * cos(2 * PI*(((double(n*i) / double(col))+(double((m*j))/double(row)))));b += pow(-1, i + j)*img[i][j] * sin(2 * PI*(((double(n*i) / double(col)) + (double((m*j)) / double(row)))));}}//将计算的值写入对应的变量中，这里已经进行了中心化操作re[n][m] = a;im[n][m] = -b;}
}
- idft()函数
void FFT::idft()
{double a;for (int n = 0; n < col; n++){for (int m = 0; m < row; m++){a = 0.0;for (int i = 0; i < col; i++){for (int j = 0; j < row; j++){//这里只求其逆变换的实部，与原图片对比。a += re[i][j] * cos(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row)))) - im[i][j] * sin(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row))));}}re[n][m] = ((1. / (10000.))*a);}}
}
- fudu()函数
void FFT::fudu()
{int b;for(int i=0;i<col;i++)for (int j = 0; j < row; j++){//计算幅度值b = sqrt(re[i][j] * re[i][j] + im[i][j] * im[i][j]);b = b / 255; //归一化到0-255//写入Mat中，便于可视化a.at<uchar>(i, j) = b;}//显示DTF幅度场imshow("aa", a);waitKey(0);
}
- show()函数
//显示逆变换后的图像，看看与原始图像是不是一样的。
void FFT::show()
{for(int i=0;i<col;i++)for (int j = 0; j < row; j++){a.at<uchar>(i, j) = re[i][j];}imshow("aa", a);waitKey(0);
}
- main()函数
int main(void)
{FFT a;a.init();a.dft();a.idft();a.fudu();//a.show();return 0;
}
所有的函数都实现了，下面来看看实现的效果吧！
原始图像
DFT后的振幅场
逆变换后的图像，差距有点大O(∩_∩)O。
Thank for your reading ！！！！
