本文简单介绍一下机器学习的三要素（以监督学习为例）。机器学习方法都是由模型、策略和算法构成，即机器学习方法由三要素构成，可以简单地表示成：

方法 = 模型 + 策略 + 算法

1.模型

机器学习首先要考虑的问题是学习什么样的模型。在监督学习中，模型就是所要学习的条件概率发布或决策函数。简单地理解：模型本质上就是一个函数，其作用就是实现从一个样本X到样本的标记值Y的一个映射，即 g：X->Y .下面来详细地阐述什么是模型。

输入空间 X 和输出空间 Y 构成了一个样本空间。对于样本空间中的样本（x,y）∈（X,Y）,假定存在一个未知的真实映函数 g: X->Y ，使得

$y=g(x)$ 或者 $p_{r}(y|x)$ (真实条件概率分布）注意：公式里的x表示的是向量，而非单独的一个x值

机器学习的目标是找到一个模型来近似真实映射函数 $g(x)$ 或真实条件概率分布 $p_{r}(y|x)$

由于我们不知道真实的 $g(x)$ 或真实条件概率分布 $p_{r}(y|x)$ 的具体形式，我们只能根据经验来假设一个函数集合 $F$ ，称其为假设空间（Hypothesis Space），然后通过观测其在训练集 $D$ 上的特性，从中选择一个理想的假设（Hypothesis） $f^{*}\in F$ .

假设空间 $F$ 通常为一个参数化的函数族：

$F=({f(x;\theta )}|\theta \in \mathbb{R}^{d})$ （1）

其中 ${f(x;\theta )}$ 是参数为 $\theta$ 的函数，也称为模型（Model）, $d$ 为参数的个数

2.策略

有了模型的假设空间，机器学习接着需要考虑的是按照什么样的准则学习或选择最优的模型。机器学习的目的在于从假设空间中选择合最优的模型。

引入损失函数和风险函数的概念，损失函数用于度量模型一次预测的好坏，风险函数度量平均意义下模型的好坏。

2.1.损失函数

以监督学习为例，监督学习是在假设空间 $F$ 中选取模型 $f$ 作为决策函数，对于给定的输入 $X$ ，由 $f(X)$ 给出相应的输出 $Y$ ，这个输出的预测值 $f(X)$ 与真实值 $Y$ 可能一致也可能不一致，用一个损失函数（loss function）或代价函数（cost function）来度量预测错误的程度。损失函数记作： $L(Y,f(X))$ ，其值为非负的。

常用的损失函数：

(1) 0-1损失函数

$L(Y,f(X))=\left\{\begin{matrix} 1 & Y\neq f(X) \\ 0& Y= f(X) \end{matrix}\right.$ （2）

(2) 平方损失函数

$L(Y,f(X)))=(Y-f(X))^{2}$ （3）

(3) 绝对损失函数

$L(Y,f(X))=|Y-f(X)|$ （4）

(4) 对数损失函数或者对数似然损失函数

$L(Y,P(Y,X))=-logP(Y,X)$ （5）

损失函数数值越小，表示它越接近最优的模型，即模型就越好。

2.2.风险函数

由于模型的输入、输出 $(X,Y)$ 是随机变量，遵循联合分布 $P(X,Y)$ ，所以损失函数的期望是：

$R_{exp}(f)=E_{p}[L(Y,f(X))]=\int _{XxY}L(y,f(x))P(x,y)dxdy$ （6）

这是理论上模型 $f(X)$ 关于联合分布 $P(X,Y)$ 的平均意义下的损失，称为风险函数或期望风险。

这里解释一下：随机变量X 和Y遵循联合概率分布P(X,Y)是什么意思：

联合概率 ：

联合概率表示为包含多个条件并且所有的条件都同时成立的概率，记作 P( X = a , Y = b) P(X=a,Y=b)或 P(a,b)，有的书上也习惯记作P(ab)

联合概率分布 ：

联合概率分布就是联合概率在样本空间中的分布情况。下面是百度百科上的定义：联合概率分布简称联合分布，是两个及以上随机变量组成的随机变量的概率分布。根据随机变量的不同，联合概率分布的表示形式也不同。对于离散型随机变量，联合概率分布可以以列表的形式表示，也可以以函数的形式表示；对于连续型随机变量，联合概率分布通过非负函数的积分表示。

在机器学习中，我们的目标就是找到两个随机变量的联合概率分布P( X,Y) ，比如说我们有一个模型，有输入变量空间 X = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) 和输出变量空间 Y = ( y 1 , y 2 , . . . , y m ) ，可能是离散的，可能是连续的。那么现在我们这个模型的作用就是在输入一个x的时候，能够给出一个y，也可以说我们这个模型的作用就是找到X和Y的联合概率分布P(X,Y)。那么我们就可以根据其联合概率得到条件概率，即就可以得到 P(Y∣X)，于是就可以利用这个条件概率找到给定一个x的情况下，最大可能的y是哪一个。而我们上面的基本前提就是假设存在X关于Y的联合概率分布。如果根本就不存在这样的联合概率分布，那么这个模型也是个没有什么意义的模型。

注意：转载连接 https://blog.csdn.net/qq_39636214/article/details/85036837

机器学习的目的就是选择期望风险最小的模型。由于联合分布P(X,Y)是未知的， $R_{exp}(f)$ 不能直接计算。实际上，如果知道联合分布P(X,Y)，可以从联合分布直接求出条件概率分布P(Y|X)，那么也就不需要进行机器学习了。正是因为不知道联合概率分布，所以才需要进行学习。这样一来，一方面根据期望风险最小学习模型要用到联合概率分布，另一方面联合分布又是未知的，所以这就成为一个病态问题。

2.3.经验风险

给定一个训练数据集：

$T=$ { $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),......,(x_{N},y_{N})$ } （7）

模型 $f(X)$ 关于训练集的平均损失称为 经验风险 (empirical risk) 或 经验损失 (empirical loss)，记作 $R_{emp}$ ：

$R_{emp}(f)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))$ （8）

期望风险 $R_{exp}(f)$ 是模型关于联合分布的期望损失，经验风险 $R_{emp}(f)$ 是模型关于训练样本集的平均损失。根据大数定理，当样本容量N趋于无穷时，经验风险 $R_{emp}(f)$ 趋于期望风险 $R_{exp}(f)$

所以一个很自然的想法是用经验风险估计期望风险。但是有实现中训练样本数目有限，甚至很小，所以用经验风险来估计期望风险往往并不理想，要对经验风险进行一定的矫正。这就关系到监督学习的两个基本策略：经验风险最小化 和 结构风险最小化

2.4.经验风险最小化和结构风险最小化

2.4.1经验风险最小化

在假设空间、损失函数以及训练数据集确定的情况下，经验风险函数式(8) 就可以确定。经验风险最小化（empirical risk minimization，ERM）的策略认为，经验风险最小的模型是最优的模型。根据这一策略，按照经验风险最小化求解最优化问题：

$min\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))$ , $f\in F$ (F为假设空间) (9)

当样本容量足够大时，经验风险最小化能保证有很好的学习效果，在现实中被广泛采纳。如：极大似然估计（maximum likelihood estimation）就是经验风险最小化的一个例子。当模型是条件分布，损失函数是对数损失函数时，经验风险最小化就等于极大似然估计。

2.4.2.结构风险最小化

当样本容量很小时，经验风险最小化的效果就未必很好，会产生“过拟合”现象（over-fitting）。

过拟合的解释：

过拟合是指学习时选择的模型所包含的参数过多，以至于出现这一模型对已知数据预测的很好，但是对未知数据预测的很差的情况。

更好地去理解过拟合：过拟合和欠拟合的形象解释_爱吃冰淇凌的羊驼-CSDN博客_过拟合和欠拟合

结构风险最小化（structural risk minimization，SRM）是为了防止过拟合而提出来的策略。结构风险最小化等价于正则化（regularization）。结构风险在经验风险上加上表示模型复杂度的正则化项（regularizer）或惩罚项（penalty term）。结构风险的定义为：

$R_{srm}(f)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))+\lambda J(f)$ (10)