​ 前言

本文大部分是对于数学建模清风老师的课程学习总结归纳而来，我的理解可能有错误，大家发现错误可以在评论区批评指正，课程地址：《数学建模清风》
前置文章请了解：

• 《线性规划》
• 《整数规划》
• 《非线性规划》

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一、最大最小化模型概述

  对策论中，我们常遇到这样的问题：在不利的条件下，寻求最有利的策略。
  在实际问题中也有许多求最大值的最小化问题，例如急救中心选址问题，就是要规划其到所有地点最大距离的最小值，在投资规划中要确定最大风险的最低限度等。
  为此，对每个$x\in R^n$，我们先求每个目标值$f_i(x)$的最大值，然后再求这些最大值中的最小值。

二、模型标准型

最大最小化问题的一般数学模型：
m i n x { m a x [ f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f m ( x ) ] } s . t . { A x ≤ b A e q ⋅ x = b e q C ( x ) ≤ 0 C e q ( x ) = 0 V L B ≤ X ≤ V U B min_x\{max[f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)]\} \\ s.t.\begin{cases} Ax\leq b\\ Aeq·x=beq\\ C(x)\leq0\\ Ceq(x)=0\\ VLB\leq X \leq VUB \end{cases} minx​{max[f1​(x),f2​(x),⋯,fm​(x)]}s.t.⎩ ⎨ ⎧​Ax≤bAeq⋅x=beqC(x)≤0Ceq(x)=0VLB≤X≤VUB​
$matlab$标准型：
$$[x,fval]=fminimax(@Fun,x_0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option)$$
PS：目标函数用一个函数向量表示。

三、经典例题

  选址问题：设某城市有某种物品的10个需求点，第$i$个需求点$p_i$的坐标为$(a_i,b_i)$（见表4-2），道路网与坐标轴平行，彼此正交。现打算建一个该物品的供应中心，且由于收到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在$x$界于$[3,8]$，$y$界于$[4,10]$的范围之内。
  问该中心应建在何处为好？

解题思路：

解题代码：

%% 最大最小化模型  :   min{max[f1,f2,···,fm]}
x0 = [6, 6];      % 给定初始值
lb = [3, 4];  % 决策变量的下界
ub = [8, 10];  % 决策变量的上界
[x,feval] = fminimax(@Fun,x0,[],[],[],[],lb,ub)
max(feval)
% x =
%     8.0000    8.5000
% feval =
%    13.5000    5.5000    5.5000   12.5000    8.5000    8.5000    5.5000   13.5000    9.5000    0.5000
% 结论：
% 在坐标为(8,8.5)处建立供应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小，最小的最大距离为13.5单位。

function f = Fun(x)a=[1 4 3 5 9 12 6 20 17 8];b=[2 10 8 18 1 4 5 10 8 9];%  函数向量f=zeros(10,1);for i = 1:10f(i) = abs(x(1)-a(i))+abs(x(2)-b(i));  end
% f(1) = abs(x(1)-a(1))+abs(x(2)-b(1));  
% f(2) = abs(x(1)-a(2))+abs(x(2)-b(2));
% f(3) = abs(x(1)-a(3))+abs(x(2)-b(3));
% f(4) = abs(x(1)-a(4))+abs(x(2)-b(4));
% f(5) = abs(x(1)-a(5))+abs(x(2)-b(5));
% f(6) = abs(x(1)-a(6))+abs(x(2)-b(6));
% f(7) = abs(x(1)-a(7))+abs(x(2)-b(7));
% f(8) = abs(x(1)-a(8))+abs(x(2)-b(8));
% f(9) = abs(x(1)-a(9))+abs(x(2)-b(9));
% f(10) = abs(x(1)-a(10))+abs(x(2)-b(10));
end 

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