数学建模——基础

article/2025/8/26 17:58:32

第1章 MATLAB基础知识

1，矩阵的表示

1，数值矩阵的生成

2，符号矩阵的生成

3，特殊矩阵生成

4，一般矩阵运算

5，基本图形绘制

6，简单图像处理

7，建立函数文件/.M文件

8，常用数值拟合

9，常用数据插值

（文章主体内容来自"《MATLAB数学建模经典案例实战》#余胜威编著#清华大学出版社"，发此文目的是梳理相关知识点，记录学习过程）

第1章 MATLAB基础知识

1，矩阵的表示

矩阵与向量相同，用来描述一个问题的方程组的系数，由方程组的系数和常数构成的方阵。

矩阵包括：数值，符号，特殊矩阵等三种基本样式

1，数值矩阵的生成

MATLAB强大功能之一：直接处理向量或矩阵

实数值矩阵输入

复数矩阵输入

2，符号矩阵的生成

1，用sym定义矩阵（实际是在定义符号表达式，符号矩阵中的元素可以是任意符号或是表达式，且长度无限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中）

2，用命令syms定义矩阵

3，数值矩阵转换为符号矩阵

一般情况下，矩阵是浮点型变量保存。针对本例，将矩阵转化成符号矩阵后，都将以最接近原值的有理数形式表示，或是函数形式表示

3，特殊矩阵生成

全零阵生成
单位阵生成
全1阵生成
均匀分布随机矩阵生成
正态分布随机矩阵生成
产生随机排列
产生线性等分向量
产生对数等分向量
产生以输入元素为对角线元素的矩阵
友矩阵的生成
hadamard矩阵生成
Hankel方阵生成
Hibert矩阵生成
逆Hibert矩阵生成
Magic矩阵生成
pascal矩阵生成
拓普利兹矩阵生成
Wilkinson特征值测试阵的生成

4，一般矩阵运算

5，基本图形绘制

t：t从0开始，以π/50为一步，到4π为止，就是t的取值为0，π/50,2*π/50，3*π/50，4*π/50......4π
.*：点乘，非矩阵乘法的一种乘法，每个对应元素分别相乘
plot(t,y,t,y0,t,-y0)：显示三条曲线

在matlab的命令窗口输入：X=linspace(1,100)，将产生从1到100步长为1的数组。类似于在命令窗口中输入：X=[1:100]
在命令窗口中输入：X=linspace(5,100,20)，将输出：X =5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
注意多个数值做乘除运算时要用点乘（.*），直接用乘（*）则报错
.*需要A、B的行列相等，而*的必要条件则是A的列数==B的行数
.^是矩阵中各数值分别平方，^是矩阵自身乘以矩阵自身
subplot（m,n,p）或者subplot（m n p）：m表示是图排成m行，n表示图排成n列，也就是整个figure中有n个图是排成一行的，一共m行，如果m=2就是表示2行图。p表示图所在的位置，p=1表示从左到右从上到下的第一个位置。
axis([XMIN XMAX YMIN YMAX])二维坐标系下坐标范围
V = axis，返回当前坐标范围参数，二维坐标四个元素
plot(x,y,'linewidth',2)：线条粗细

meshgrid(x,y,z)：meshgrid是生成网格的函数，一般是生成二维网格矩阵数据，但这里生成的是三维网格矩阵数据。以二维为例，命令：[X,Y]=meshgrid(x,y)，生成的X就是采样点的横坐标，Y是其纵坐标
slice(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) 沿着由矩阵XI、YI与ZI定义的曲面画穿过超立体图形V的切片。

6，简单图像处理

素材放在图中所标记位置
R=obj(:,:,1)......：把图像中红、绿、蓝三色的数据分别存储到矩阵R、G和B中

7，建立函数文件/.M文件

函数文件

定义

可以是MATLAB工具箱中的函数，直接被用户调用
也可以是用户自己书写的，可间接调用
也可添加到工作路径下，供用户调用

作用

可反复调用
节约代码空间
使结构清晰
很重要

常用的函数文件

function y = abc(x);
abc：用户定义函数
x：输入 y：反馈值

函数句柄

fhandle = @function name
eg. trig_f = @sin 或 sqr = @(x)x.^2

eg. 函数句柄的创建调用

eg.函数文件的创建和调用

新建 “函数”，并编写函数内容，保存时为函数命名（注意不要与已知函数冲突，函数文件将在路径中显示）
在命令行窗口可直接调用此函数

8，常用数值拟合

最简单的线性最小二乘法拟合

从实验数据中拟合函数关系y=f(x)，标准是使 (f(xi) - yi)^2取极小值
MATLAB中可用函数polyfit函数对数据进行拟合。调用格式：P = polyfit(x , y , N) 意义：用N次多项式拟合数据点 [ xi , yi]

eg.以一次，二次，三次多项式拟合以下数据

表1-2 数据
x	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
y	1.75	2.45	3.81	4.80	7.00	8.60

hold on：hold on 和hold off，是相对使用的前者的意思是，你在当前图的轴（坐标系）中画了一幅图，再画另一幅图时，原来的图还在，与新图共存，都看得到，后者表达的是，你在当前图的轴（坐标系）中画了一幅图，此时，状态是hold off,则再画另一幅图时，原来的图就看不到了，在轴上绘制的是新图，原图被替换了（参考自@荪荪【Matlab中hold on与hold off的用法】）

plot函数：单引号内的是线的类型以及颜色，如上图

9，常用数据插值

插值

求函数近似值的方法。针对某个x，用已知的xi与f(xi)组合生成f(x)。
最简单插值法：多项式插值法
MATLAB可利用提供的插值函数，或编程实现数据的插值

一元插值函数interp1的语法格式
y = interp1(x , Y, xi)	由已知点集(x,Y)插值计算xi上函数值y
y = interp1(Y, xi)	相当于x=1:length(Y)的interp1(x, Y, xi)
y = interp1(x, Y, xi, method)	用指定方法计算xi对应的y
y = interp1(x, Y, xi, method, 'extrap')	超出已知点集的插值点用指定方法计算函数值
y = interp1(x, Y, xi, method, extrapval)	用指定方法计算插值，超出已知点集处函数值取extrapval
pp = interp1(x, Y, method, 'pp')	用指定方法进行插值，但结果为分段多项式