2.1 LTI连续系统的响应

前言

LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。

一、微分方程的经典解

微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解。
1. 齐次解
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式

注意重根情况处理方法

齐次解举例

例

解系统的特征方程为

特征根

对应的齐次解为

2. 特解
根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
特解

特解举例
例给定微分方程式如果已知：，分别求两种情况下此方程的特解。

解 (1)由于f(t)=t^2，故特解函数式为

这里，P2， P1， P0，将此式代入方程得到

等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有

联解得到

所以，特解为

(2)当f(t)= e^t 时，特解为yp(t)=P e^t ，这里，P是待定系数。
代入方程后有：，

3. 全解
由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。

全解举例
例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e^(-t)，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e^(-2t)，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
解

(1) 特征方程为λ^2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e^( – 2t) + C2e^ (– 3t)
当f(t) = 2e^ (– t)时，其特解可设为 yp(t) = Pe^ (– t)
将其代入微分方程得
Pe^ (– t) + 5(– Pe^ (– t)) + 6Pe^ (– t) = 2e^ (– t) 解得 P=1
于是特解为 yp(t) = e^ (– t)
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e^ (–2t)+ C2e ^ (–3t) + e^ (– t)

其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3 ，C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e^ (– 2t)– 2e^ (–3t) + e ^ (– t) , t≥0

（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重。故其特解为
yp(t) = (P1t + P0)e ^ (–2t)
代入微分方程可得 P1e ^ (–2t) = e ^ (–2t)
所以 P1= 1 但P0不能求得。特解为
yp(t) = (t + P0)e ^ (–2t)
全解为
y(t)= C1e–2t + C2e ^ (–3t)+ te ^ (–2t)+ P0e ^ (–2t)
= (C1+P0)e ^ (–2t)+C2e ^ (–3)+ te ^ (–2t)
将初始条件代入，得
y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e ^ (–2t) – e ^ (–3t) + te ^ (–2t) , t≥0
上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。

其他
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；
特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。

二、关于0-和0+初始值

介绍
若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。
而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。
通常，需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。

当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。

0-和0+初始值举例1
例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
解将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1）
利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+区间等号两端δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。
但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。故 y(0+) = y(0-) = 2
对式(1)两端积分有

由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续，故

于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2
考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2

0-和0+初始值举例2

例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=δ’(t)，求y(0+)和y’(0+)。
解将输入f(t)=δ’(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ” (t) + δ’(t) （1）
利用系数匹配法分析：
令y”(t)=aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t)， r1(t)中不含冲激
y’(t)= aδ’(t)+bδ(t)+ r2(t)， r2(t)=Cε(t)+ r1(-1)(t)
y(t)= aδ(t)+ r3(t)， r3(t)=bε(t)+ r2(-1)(t)
将上述关系代入式（1），并整理得

aδ” (t)+ bδ’(t)+ Cδ(t) + r1(t)
+3aδ’(t)+ 3bδ(t)+ 3r2(t)
+ 2aδ(t)+ 2r3(t) = 2δ” (t) + δ’(t)
比较等式两边冲激项系数，有
a=2
b+3a=1
c+3b+2a=0

解得：a=2，b=-5，c=11，故
y”(t)=2δ” (t)- 5δ’(t) + 11δ(t) + r1(t)，
y’(t)= 2δ’(t) - 5δ(t) + r2(t)，
y(t)= 2δ(t) + r3(t)。

对y”(t)从0-到0+积分得 y’(0+)-y’(0-) =11， y’(0+)=y’(0-) +11= 11
对y’(t)从0-到0+积分得 y(0+)-y(0-) =-5， y(0+)=y(0-)-5 = 2-5=-3

三、零输入响应

定义：零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的相应，用y zi (t)表示

四、零状态响应

定义：零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入状态f(t)引起的响应，用y zs (t)表示

五、全响应

y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分别用经典法求解。
注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。
y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-)
y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+)

对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-)
对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yzs(j)(0-)=0
yzs(j)(0+)的求法下面举例说明。

零输入响应和零状态响应举例
例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。
解

（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足
yzi”(t) + 3yzi’(t) + 2yzi(t) = 0
yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2
yzi’(0+)= yzi’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1， – 2，故
yzi(t) = Czi1e^ (–t) + Czi2e^ (–2t)
代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= – 2 ，代入得
yzi(t) = 4e^ (–t) – 2e^ (–2t) ,t > 0

（2）零状态响应yzs(t) 满足

yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有 yzs(0-) = yzs’(0-) = 0
由于上式等号右端含有δ(t)，故yzs”(t)含有δ(t)，从而yzs’(t)跃变，即yzs’(0+)≠yzs’(0-)，而yzs(t)在t = 0连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得

因此，yzs’(0+)= 2 + yzs’(0-)=2

对t>0时，有 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6
不难求得其齐次解为Czs1e^ (–t)+ Czs2e^ (–2t)，其特解为常数3，
于是有 yzs(t)=Czs1e^ (–t) + Czs2e^ (–2t)+ 3
代入初始值求得 yzs(t)= – 4e^ (–t) + e^ (–2t)+ 3 ，t≥0

2.2 冲激响应和阶跃响应

一、冲激响应

定义：

由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]

系统冲激响应的求解

冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示

h(t)解答的形式
由于δ(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
①与特征根有关
②与n, m相对大小有关

冲激响应求解举例
例求系统的冲激响应。

解将f(t)→δ(t)， y(t)→h(t)

解法一：线性时不变性质法

设h1(t)满足简单方程

将边界条件代入h1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2，

则由系统的线性时不变特性

解法二：求特征根

，h(t)中不包含冲激项

冲激响应，记得需要带ε(t)

两种求待定系数方法：求0+法，奇异函数项相平衡法

求0+法

奇异函数项相平衡法

基本单元的冲激响应（数乘器、延时器、微分器、积分器）

二、阶跃响应

定义
一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。

说明

冲激响应求解举例
例系统的阶跃激响应。

解

2.3 零状态响应与卷积积分

一、任意激励下的零状态响应

二、卷积积分

定义

用定义计算卷积举例
例 f(t) = e^ t ,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e^(-2t) – 1)ε(t)，求yzs(t)。
解

其他思考题

卷积的图解法

卷积过程可分解为五步：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)
（2）反转：由f2(τ)反转→ f2(–τ)
（3）平移：由 f2(–τ)右移t → f2(t-τ)
（4）乘积： f1(τ) f2(t-τ)
（5）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
注意：t为参变量。

求某一时刻卷积值

例 f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？

解
（1）换元
（2） f1(τ)得f1(–τ)
（3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ)
（4） f1(2–τ)乘f2(τ)
（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）

图解法计算卷积举例

例 f (t) ,h(t) 如图所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 。
解

2.4 卷积积分的性质

一、卷积的代数运算

1．交换律

证明交换律

2．分配律

与“系统并联运算”有关：

结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。

3．结合律

与“系统级联运算”有关

结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

二、函数与冲激函数的卷积

概括

卷积的时移特性

介绍
若 f(t) = f1(t)* f2(t)，
则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t)
= f1(t)* f2(t –t1 –t2)
= f(t –t1 –t2)

卷积性质例
例 f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t)

解 f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)

f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1)
由于ε (t)* ε (t) = tε (t)
据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1)–2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)