第一章 信号与系统概述

1.1 信号的基本概念与分类

1.1.1 消息、信息、信号

消息（message）：人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。接受到某个消息，会引起接收者的知识状态发生改变。知识状态改变的程度由该消息中所包含的信息量决定。

信息（information）：是信息论的一个术语，通常把消息中有意义的内容称为信息。某事件发生的信息量可定义为
$$I=-lo{g}_{a}P(x)$$
其中$P(x)$为事件$x$的概率，当取2为底的对数时，信息量的单位为bit。

信号（signal）：信号是信息的载体。如上课铃响的声信号，十字路口的红绿灯是光信号，电视机天线接收的电视信息是电信号。日常生活中的文字信号、图像信号、生物电信号等，都是信号。

为了有效地传播和利用信息，常常需要将信号转换成便于传输和处理的电信号。例如，无线广播就是将语音信号变换为适宜远距离传播的载波信号（这个过程称为调制），由天线发射出去；收音机通过无线接收到信号，通过信号变换形成语音信号（这个过程称为解调）

1.1.2 信号的描述

信号的携带信息的独立变量的函数。信号的信息的一种物理体现，一般是随时间或位置变换的物理量。电信号的基本形式是随时间变化的电压或电流。
描述信号的常用方法：

• 表示为时间的函数
• 信号的图形表示——波形

"信号"与"函数"通常相同通用

1.1.3 信号的分类

1.1.3.1 确定信号和随机信号

• 确定信号：可用确定时间函数表示的信号。

• 随机信号：信号不能用确切的函数描述，只可能知道它的统计特性比如概率，例如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。 (注意：下图是发生以后记录下来的，每一个时刻是什么值是不确定的)
  

1.1.3.2 连续信号和离散信号

• 连续时间信号：连续时间范围内($-\infty <t<\infty$)有定义的信号，简称连续信号；若其函数值域也连续，常称为模拟信号。

• 离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号；当取值为规定数值时，常称为数字信号。

$f(t)$仅在一些离散时刻$t_k(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$有定义，其余时间无定义,如图：

相邻离散点的间隔$T_k=t_{k+1}-t_k$通常取等间隔$T$，离散信号可表示为$f(kT)$，简写为$f(k)$，如果等间隔，这种离散信号也常称为离散序列或序列。其中$k$称为序号,如图：

通常将对应某序号$m$的序列值称为第$m$个样点的样值。

连续信号采样变离散信号：

离散信号变连续信号（零阶保持）:

离散信号变连续信号（分段线性）:

1.1.3.3 周期信号与非周期信号

• 周期信号(period signal)是定义在$(-\infty ,\infty )$区间，每隔一定时间$T$ (或整数$N$ )，按相同规律重复变化的信号；

• 不具有周期性的信号称为非周期信号。

连续信号的周期

连续周期信号$f(t)$，周期为$T$，满足
$$f(t)=f(t+mT)，m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

典型周期连续信号：余弦信号$\text{cos}\omega t$

周期为：$T=2\pi /\omega (s)$

两个周期信号的周期分别为$T_1$和$T_2$，若$T_1/T_2$为有理数，则周期信号之和仍然是周期信号，其周期为$T_1$和$T_2$的最小公倍数。

离散信号的周期

定义:离散周期信号$f(k)$，周期为$N$，满足下式:
$$f(k)=f(k+mN)，m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

结论：

• 当$2\pi /\beta$为整数时，正弦序列具有周期$N=2\pi /\beta$;
• 当$2\pi /\beta$为有理数时，正弦序列仍具有周期性，但其周期为$N=M(2\pi /\beta )$，$M$取使$N$为整数的最小整数;
• 当$2\pi /\beta$为无理数时，正弦序列为非周期序列。

结论：

• ①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。
• ②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

1.1.3.4 能量信号和功率信号

将信号$f(t)$看作电压信号或电流信号， 施加于$R=1\Omega$电阻上，它所消耗的瞬时功率为$|f(t){|}^2$（$P=\frac{|u(t){|}^2}{R}=|f(t){|}^2$，考虑到$u(t)$可能是复数，所以取模。），在区间$(–\infty ,\infty )$的能量和平均功率（单位时间消耗的能量为功率）定义为：

能量有限信号: 信号的能量$E<\infty$，简称能量信号，此时 $P=0$。
功率有限信号: 信号的功率$P<\infty$，简称功率信号，此时 $E=\infty$。

对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。

能量信号：满足$E={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }|f(k){|}^2<\infty$的离散信号

功率信号：满足$P={\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{k=-N/2}^{N/2}|f(k){|}^2<\infty$的离散信号

结论：

(1) 时限信号(仅在有限时间区间不为零)为能量信号;

(2) 周期信号属于功率信号;

(3) 非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号;

(4) 有些信号既不是能量信号也不是功率信号，如$f(t)=e^t$

1.1.3.5 因果信号和反因果信号

• 因果信号：$t<0，f(t)=0$的信号$f(t)$ [即 $t=0$ 时接入系统的信号]，比如阶跃信号：

• 反因果信号（备注：不是非因果信号）：$t\ge 0$， $f(t)=0$的信号 (除0信号外)。

1.1.3.6 一维信号与二维信号

从数学表达式看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，分别称为一维或多维信号(函数)。

语音信号可表示为声压随时间变化的函数，属于一维信号。而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，黑白图像属于二维信号。还有更多维变量的函数的信号。

还有其他分类，如实信号与复信号；左边信号与右边信号等等。

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟