一、Coq的安装与使用

1、Coq简介

Coq是一款交互式证明辅助工具，提供一套证明系统，可以编写证明、检查证明；也提供一套形式化语言，可编写数学算法、定义、定理；它还可以用于程序的正确性证明。

2、Coq的安装

Coq-8.11.0 安装包【Windows、MacOS】

链接：https://pan.baidu.com/s/1rAjW8D6G5GJI3sQP1JfG7g
提取码：ects

安装完成之后，Coq自带CoqIde，对于形式化方法课程来说应该是够用了。

【我有尝试使用另外一种IDE：Proof General，但是没有成功，等成功之后再来更新吧，目前就先用CoqIde了hhhh】

3、Warm-up Test

（1）创建一个名为 coq_warm_up.v 的文件，保存如下代码：

【其中 “.v” 是Coq文件的默认后缀】

Inductive day : Type := 
| monday : day 
| tuesday : day 
| wednesday : day 
| thursday : day 
| friday : day 
| saturday : day 
| sunday : day. Definition next_weekday (d:day) : day := 
match d with 
| monday => tuesday 
| tuesday => wednesday 
| wednesday => thursday 
| thursday => friday 
| friday => monday 
| saturday => monday 
| sunday => monday 
end.Eval compute in (next_weekday friday). 
Eval compute in (next_weekday (next_weekday saturday)).

（2）运行CoqIde，打开上述文件；

（3）单击 Go to end 按钮，会得到如下的输出：

     = monday: day= tuesday: day

此时说明Coq安装成功。

4、Coq功能分区

Tool bar 工具栏：提供可执行的基本命令。
Script buffers 脚本缓冲区：用于打开和编辑脚本。
Goal window 目标窗口：显示待验证目标。
Message window 消息窗口

二、Coq Tactics——如果使用Coq进行proof development

在proof development的每个阶段，都有一个要证明的子目标列表。

最初，该列表由所要证明的新定理的本身组成；

应用某些策略之后，目标列表包含该策略生成的子目标，接下来的工作就是分别对这些子目标进行处理。

主要包括以下策略：intros, apply, inversion, split, right and left。

A basic theorem：

Theorem ident body: type.
Proof.Tactics
Qed.

Theorem - Coq中的一个命令，声明了一个需要证明的新定理；
ident - 新定理的名称；
body - 新定理的主体；
type -

forall 新定理中出现的变量名（多个变量用空格隔开）:Prop,

所要证明的新定理.

Proof - 标示着证明新定理的开始
Tactics - 指导证明的过程，在结论和前提之间提出演绎规则，实现反向推理
Qed - 标示着证明新定理的完成

1、Implication（蕴含）：intros and apply tactic

【蕴含的引入规则：intros】

主要用于拆分所要证明定理中的已知前提和所要证明的结论。【详见下方】

【蕴含的删除规则：apply】

【详见下方】

第一个栗子：证明定理 P -> P成立

证明代码如下：

Theorem example1: forall P: Prop, P -> P.
Proof.intros.apply H.
Qed.

分析解释如下：

（1）执行前三行，结果如下：

由goal-window展示的结果可知，我们的证明目标位于水平线的下方。

横线上方没有任何的内容，表示 local context 为空，没有任何东西可以使用。

（2）执行intros策略：

基于当前目标，intros策略具有不同的效果，如果是：

forall T: type, T-> U

将 T: type 和 Hn: T 放入 local context，新的子目标就是U。

执行intros策略后，根据横线上方的内容，local context 中有两个前提可供使用。

（3）执行apply H：

在步骤（2）中，我们得到了一个名为H的假设，并且该假设的值与我们唯一的子目标相同，当我们得出与目标相同的假设时，使用 apply 策略。

（4）使用Qed命令完成证明：

当goal-window显示“No more subgoals”，表示证明过程结束，使用Qed命令完成证明，该命令可以让Qed保存定理及其证明。

在Coq中使用这个命令就是将结论拆分成两个来证明，两个都需要进行证明。

第一个栗子：证明 P /\ Q -> Q 成立

证明代码如下：

Theorem example3: forall P Q: Prop,P/\Q -> Q.
Proof.intros.inversion H.apply H1.
Qed.

分析解释如下：

（1）执行前三行：

（2）执行第四行：

【 inversion 策略用法一】

inversion 策略用于证明具有 conjuction（合取、交）连接的定理。

执行完第四行之后，我们得到了一个假设 H: P /\ Q，其中具有合取运算符。

inversion 策略主要用于发现假设成立的前提。

有假设H可知，P /\ Q为真，只有在 P 为真并且 Q 为真的情况下，P /\ Q 才可能为真，因此我们可以使用 Inversion 策略向 local context 中添加两个假设—— H0: P H1: Q。

（3）执行第五行：

此时假设H1和子目标相同，因此只需要 apply H1 即可。

（4）执行第六行：

第二个栗子：证明（P /\ Q) -> (Q /\ P)

证明代码如下：

Theorem example4: forall P Q:Prop,(P /\ Q) -> (Q /\ P).
Proof.intros.inversion H.split.apply H1.apply H0.
Qed.

分析解释如下：

（1）执行前三行：

（2）执行第四行：

假设中包含合取运算符，因此使用 Inversion 策略。

（3）执行第五行：

我们需要证明的目标是 Q /\ P 成立，显然 Q /\ P 成立的条件是 Q 和 P 都为真，因此我们可以将目标拆分。

split 策略用于将目标拆分成几个子目标，然后再对子目标进行一一证明。

（3）执行第六行：

首先证明子目标Q，直接 apply H1 即可

（7）执行第七行：

再证明剩余的一个子目标P，apply H0

（8）执行第八行：

3、Disjunction（析取，并）: right and left tactic

【析取的引入规则 left & right】

对目标结论输入 left，能够使得目标变成 P；同理对目标结论输入 right，能够使得目标变成 Q。

在实际操作时，选择一个证明起来比较简单的式子。

第一个栗子：证明 (P \/ Q) -> (Q \/ P) 成立

证明代码如下：

Theorem example5: forall P Q: Prop,(P \/ Q) -> (Q \/ P).
Proof.intros.inversion H.right.apply H0.left.apply H0.
Qed.

分析解释如下：

（1）执行前三行：

（2）执行第四行：

【 inversion 策略用法二】

inversion 策略还可用于具有 disjunction（合取、并）连接的定理，生成两个具有相同结论、但 local context 中H0值不同的子目标。

（3）执行第五行：

第一个子目标需要我们在假设 H0: P 成立的前提下，证明 Q \/ P 为真，因此许需要证明 Q 为真或者 P 为真或者 Q 和 P 均为真即可。

前提为 H0: P，需要证明的子目标 Q \/ P 中包含 P，且 P 位于合取符号的右侧，因此，使用 right 策略使得子目标与假设 H0 相同。

(4）执行第六行：

此时前提 H0 与第一个子目标相同，因此只需要 apply H0 即可。

（5）执行第七行：

需要证明的目标为：在 H0: Q 成立的前提下，证明 Q \/ P 为真，Q 位于合取符号的左侧，因此使用 left 策略使得目标与假设 H0 相同。

（6）执行第八行：

（7）执行第九行：

4、not(~)：unfold 策略

【使用场景】

当我们想要展开某个定义或者函数实现时，使用 unfold 策略。

当我们想要将 ~X 转换为 X -> False 时，使用 unfold 策略，有两种实现方法：

（1）unfold not

（2）unfold "~"

举个栗子：证明 P -> ~P -> Q 成立。

证明代码如下：

Theorem absurd: forall P Q:Prop,P -> ~P -> Q.
Proof.unfold not.intros.elim H0.apply H.
Qed.

（1）执行前三行代码：

使用 unfold not 将 ~Q 转换为 Q -> False。

（2）执行第四行代码：

elim 策略用于消除谬误。

（3）执行第五行代码：

（4）执行第七行代码：

练习：

证明 ((P -> R) /\ (Q -> R)) -> (P /\ Q -> R) 成立。

Theorem exercise6: forall P Q R:Prop,((P -> R) /\ (Q -> R)) -> (P /\ Q -> R).
Proof.intros.inversion H0.inversion H.apply H3 in H1.apply H1.
Qed.

证明 (P -> Q /\ R) -> ((P -> Q) /\ (P -> R)) 成立。

Theorem exercise7: forall P Q R:Prop,   (P -> Q /\ R) -> ((P -> Q) /\ (P -> R)).
Proof.intros.split.apply H.apply H.
Qed.

证明 ((P /\ Q) /\ R, S /\ T) -> (Q /\ S) 成立。

Theorem challenge1: forall P Q R S T:Prop,(((P /\ Q) /\ R) /\ (S /\ T)) -> (Q /\ S).
Proof.intros.inversion H.inversion H0.inversion H2.inversion H1.split.apply H5.apply H6.
Qed.

证明 (P -> Q) -> (~Q -> ~P) 成立。

证明代码如下：

Theorem challenge2: forall P Q:Prop,(P -> Q) -> (~Q -> ~P).
Proof.unfold not.intros.apply H in H1.apply H0 in H1.apply H1.
Qed.

（1）执行前三行代码：

（2）执行第四行：

（3）执行第五行：

（4）执行第六行：

（5）执行第七行：

（6）执行第八行：

参考：

https://www.cnblogs.com/luluathena/archive/2010/08/19/1803065.html

http://www.doc88.com/p-5187845230295.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/33294417?edition=yidianzixun

形式化方法 | Proof Engineering in Coq——Coq tatics 在命题逻辑证明中的应用

一、Coq的安装与使用

1、Coq简介

2、Coq的安装

3、Warm-up Test

4、Coq功能分区

二、Coq Tactics——如果使用Coq进行proof development

A basic theorem：

1、Implication（蕴含）：intros and apply tactic

第一个栗子：证明定理 P -> P成立

相关练习：证明定理 P -> (Q -> P) 成立

第二个栗子：证明定理 （P -> Q) -> P -> Q 成立

相关练习：证明 P -> (Q -> ( H -> Q )) 成立

2、Conjunction（合取、交）：inversion（反演） and split（拆分） tactic

第一个栗子：证明 P /\ Q -> Q 成立

相关练习：证明 P /\ Q ->P 成立

第二个栗子：证明 （P /\ Q) -> (Q /\ P)

相关练习：证明 (P /\ (Q /\ R)) -> ((P /\ Q) /\ R) 成立

3、Disjunction（析取，并）: right and left tactic

第一个栗子：证明 (P \/ Q) -> (Q \/ P) 成立

相关练习：证明 (P \/ (Q \/ R)) -> ((P \/ Q) \/ R) 成立

4、not(~)：unfold 策略

举个栗子：证明 P -> ~P -> Q 成立。

练习：

相关文章

第二个栗子：证明定理（P -> Q) -> P -> Q 成立

第二个栗子：证明（P /\ Q) -> (Q /\ P)