1.实验目的

1. 掌握分治算法的基本思想、技巧和效率分析方法。
2. 熟练掌握用递归设计分治算法的基本步骤。
3. 学会利用分治算法解决实际问题。

2.实验内容

大整数乘法
采用分治算法实现两个n位二进制（或者十进制）大整数的乘法。

3.实验要求

1. 根据实验内容构思设计算法，选取适合的数据结构；
2. 对所设计的算法采用大O符号进行时间复杂性分析；
3. 上机实现算法；
4. 实验报告内容应包括问题描述、问题分析、算法设计、算法实现、运行结果及算法复杂度分析等内容。

4.算法设计

举个例子理解分治过程：

算法设计：
分解：

首先将2个大整数a(n位）、b(m位)分解为两部分：ah和al、bh和bl

ah表示大整数a的高位，al表示大整数a的低位，$a=ah\ast 10^{\frac{n}{2}}+al$，ah、al为n/2位。

bh表示大整数b的高位，bl表示大整数b的低位，$b=bh\ast 10^{\frac{m}{2}}+bl$，bh、bl为m/2位。

2个大整数a(n位)、b(m位）相乘转换成了4个乘法运算$ah\ast bh$、$ah\ast bl$、$al\ast bh$、$al\ast bl$，而乘数的位数变为了原来的一半。

求解子问题：

继续分解两个乘法运算，直到分解有一个乘数位1位数时停止分解，进行乘法运算并记录结果。

合并：

将计算出的结果相加并回溯，求出最终结果。

5.算法步骤

#include<stdlib.h>
#include<cstring>
#include <iostream>using namespace std;
#define M 100
char sa[1000];
char sb[1000];
typedef struct _Node {int s[M];int l;int c;
} Node, *pNode;void cp(pNode src, pNode des, int st, int l) {int i, j;for (i = st, j = 0; i < st + l; i++, j++) {des->s[j] = src->s[i];}des->l = l;des->c = st + src->c;
}void add(pNode pa, pNode pb, pNode ans) {int i, cc, k, palen, pblen, len;int ta, tb;pNode temp;//保证pa是高次幂if ((pa->c < pb->c)) {temp = pa;pa = pb;pb = temp;}ans->c = pb->c;  //结果的幂取最少的幂cc = 0;palen = pa->l + pa->c; //pa的长度pblen = pb->l + pb->c; //pb的长度//选取最长的长度if (palen > pblen)len = palen;elselen = pblen;k = pa->c - pb->c; //k是幂差，len是最长的位数for (i = 0; i < len - ans->c; i++) {if (i < k)ta = 0;elseta = pa->s[i - k];if (i < pb->l)tb = pb->s[i];elsetb = 0;if (i >= pa->l + k)ta = 0;ans->s[i] = (ta + tb + cc) % 10;cc = (ta + tb + cc) / 10;}if (cc)ans->s[i++] = cc;ans->l = i;
}void mul(pNode pa, pNode pb, pNode ans) {int i, cc, w;int ma = pa->l >> 1, mb = pb->l >> 1;Node ah, al, bh, bl;Node t1, t2, t3, t4, z;pNode temp;if (!ma || !mb) {//如果pa是一位数，则和pb交换if (!ma) {temp = pa;pa = pb;pb = temp;}ans->c = pa->c + pb->c;w = pb->s[0]; //pb必为一位数cc = 0;for (i = 0; i < pa->l; i++) {//pa必为2位数以上ans->s[i] = (w * pa->s[i] + cc) % 10;cc = (w * pa->s[i] + cc) / 10;}if (cc)ans->s[i++] = cc;ans->l = i;return;}cp(pa, &ah, ma, pa->l - ma); //高位升幂cp(pa, &al, 0, ma);           //低位幂不变cp(pb, &bh, mb, pb->l - mb);cp(pb, &bl, 0, mb);mul(&ah, &bh, &t1); mul(&ah, &bl, &t2);mul(&al, &bh, &t3);mul(&al, &bl, &t4);add(&t3, &t4, ans);add(&t2, ans, &z);add(&t1, &z, ans);
}int main() {Node ans, a, b;cout << "输入大整数 a：" << endl;cin >> sa;cout << "输入大整数 b：" << endl;cin >> sb;a.l = strlen(sa);b.l = strlen(sb);int z = 0, i;for (i = a.l - 1; i >= 0; i--)a.s[z++] = sa[i] - '0';a.c = 0;z = 0;for (i = b.l - 1; i >= 0; i--)b.s[z++] = sb[i] - '0';b.c = 0;mul(&a, &b, &ans);cout << "最终结果为：";for (i = ans.l - 1; i >= 0; i--)cout << ans.s[i];cout << endl;return 0;
}

代码解释：

1、将两个输入的大数，倒序存储在数组s[]中，l表示长度，c表示幂，c初始为0。

2、cp函数：将一个n位的数，分成两个n/2的数并存储，记录它的长度和次幂。

3、mul函数，不断地分解，直到有一个乘数为1位数时停止分解，进行乘法并记录结果。

4、add函数，将分解得到的数，进行相加合并。

代码流程：
初始化：将a、b倒序存储在数组a.s[]，b.s[]中。

分解：cp函数：将一个n位的数，分成两个n/2的数并存储，记录它的长度和次幂。ah表示高位，al表示低位，l用来表示数的长度，c表示次幂。

转换为4次乘法运算：ahbh，ahbl，albh，albl：

求解子问题：

ah$\ast$bh，ah$\ast$bl，al$\ast$bh，al$\ast$bl

继续求解子问题：

上述4个乘法运算都有一个乘数为1位数，可以直接进行乘法运算。以$ahh\ast bhh$为例：

3首先和1相乘得到3存储在下面数组的第0位，然后3和4相乘得到12，先存储12%10=2，然后存储进位12/10=1，那样结果就为倒序的321，结果的次幂是两个乘数次幂之和。

4个乘法运算结果如下图：

合并：

合并子问题结果，返回给$ah\ast bh$，将上面4个乘法运算的结果加起来返回给$ah\ast bh$。

由此得到ah*bh=13408x10^4。

用同样的方法求得$ah\ast bl=832x10^2$，$al\ast bh=32682x10^2$，al$\ast$bl=2028。将这4个子问题结果加起来，合并得到原问题a*b=137433428。

6.实验分析

算法复杂度分析：
假设两个n位大整数相乘的时间复杂度为T(n)，则：

当n>1时，可以递推求解如下：

递推最终的规模为1，令n=2^x，则x=logn，那么有：

大整数乘法的时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度：

程序中变量占用了一些辅助空间，都是常数阶，但合并时结点数组占用的辅助空间为O(n)，递归调用所使用的栈空间时O(logn)。所以，空间复杂度为O(n)。

7.实验总结

通过这次实验，我进一步理解了用分治法求解大整数乘法的算法。大整数乘法是一个十分实用的问题，它通过减少两数相乘的次数，来达到降低间复杂度，提高算法效率的目的。