负二项分布
负二项分布是伯努利分布的推广，它模拟了在指定（非随机）失败次数（表示为r）发生之前，一系列独立且同分布的伯努利试验中的成功次数
负二项分布可以用来确定一个系列中多于1次失败的概率
比如：计算一台机器彻底崩溃前的天数、输掉系列赛冠军需要进行多少场比赛
截图来源：Negative binomial distribution
方差：
Var = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 Var = ∑ k = 0 ∞ k 2 ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r − ( r p 1 − p ) 2 \text{Var}=E[X^2]-E[X]^2\\ ~\\ \text{Var}=\sum_{k=0}^{\infty}k^2\begin{pmatrix}k+r-1\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^r-(\frac{rp}{1-p})^2\\ Var=E[X2]−E[X]2 Var=k=0∑∞k2(k+r−1k)pk(1−p)r−(1−prp)2
通过微分恒等式来计算 E [ X 2 ] E[X^2] E[X2]
p 2 d d p 1 = p 2 d d p ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r p^2\frac{d}{dp}1=p^2\frac{d}{dp}\sum_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix}k+r-1\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^r p2dpd1=p2dpdk=0∑∞(k+r−1k)pk(1−p)r
最后整理求得
E [ X 2 ] = r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2 Var = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2 − ( r p 1 − p ) 2 = r p ( 1 − p ) 2 σ X 2 = r p ( 1 − p ) 2 E[X^2]=\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2}\\ ~\\ \text{Var}=E[X^2]-E[X]^2=\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2}-(\frac{rp}{1-p})^2=\frac{rp}{(1-p)^2}\\ ~\\ \sigma_X^2=\frac{rp}{(1-p)^2} E[X2]=(1−p)2rp+r2p2 Var=E[X2]−E[X]2=(1−p)2rp+r2p2−(1−prp)2=(1−p)2rp σX2=(1−p)2rp
例子：
