1. 简介

人工智能是计算机科学的一个大领域，它模拟计算机中的智能行为。在此基础上，提出了一种基于元启发式（ metaheuristic）的粒子群优化算法来模拟鸟类觅食、鱼群移动等。这种算法能够模拟群体的行为，以便迭代地优化数值问题。例如，它可以被分类为像蚁群算法、人工蜂群算法和细菌觅食这样的群体智能算法。

J. Kennedy 和 R.Eberhart 在1995年提出的粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）变得非常流行，它是一种基于随机优化（Stochastic Optimization）的强大算法，受鸟群中的规则启发，连续优化过程允许多目标和更多的变化。该方法包括不断寻找最佳解，以每次迭代计算的一定速度移动粒子（在这种情况下表示为位置 $(x ， y)$ ）。每个粒子的运动都有其自身的影响，最著名的位置也是空间搜索中最著名的位置。最终期望的结果是粒子群收敛到最优解。重要的是要提到粒子群算法不使用梯度下降，所以它可以用于非线性问题，只要它不要求问题必须是可微的。

C++/Python代码可参考该仓库。

2. 涌现复杂性

涌现复杂性（Emergent Complexity）是一种现象，描述了大群体的各个组成部分如何以相同但更简单的规则一起工作，以创建多样而复杂的系统。有一些自然的复杂行为可以作为涌现的例子。例如，蚂蚁本能地相互交流，以建立一个活的桥梁，在寻找食物来源时最小化交换距离（Video）。鸟类相互跟随，形成更大的群体，这增加了它们发现捕食者和食物来源的可能性。不像通常的复杂性（complexity）概念，它不一定有用，自然复杂性（natural complexity）是一百万年自然选择过程的结果，在这个过程中，能源的使用是增加生存机会的最重要因素。因此，如果同一个问题有两个解决方案，更简单、需要更少能量的方法将因自然选择而存在。这就是为什么大自然建议的解决方案会很简单，但仍然能有效地尽可能减少动物的能量消耗。因此，科学家们分别观察了一群欧椋鸟（starlings，八哥😸）中的每只鸟，发现它们中的每只都采取简单的行动来形成复杂的结构。

每只鸟都有自己的位置和速度；
每只鸟都有自己的视野，可以跟随周围的鸟。这只鸟完全不知道超出此范围的动作。
如果有任何鸟类发现食物，则该群中的所有鸟类都将趋向该方向。

3. 鸟群智能建模

在自然界中，在一个数值问题中，任何boid（类似鸟的物体）的可观察到的邻近区域都被限制在一定的范围内。因此，它可以收敛到一些局部极小值（minima）或鞍点（saddle point），其中梯度（在该情况下对应的是速度）将为0。然而，拥有一个以上的boid可以让鸟群中的所有鸟关注到误差函数的更大范围，并且如果它们中的任何一只在误差方面看到了更好的位置，就不会陷入局部极小值。对上述原则进行数学建模，使群体找到误差函数的全局最小值。

在这里插入图片描述

f(x)= x²+y² 的函数图像

每个boid都有自己的位置和速度。我们可以把速度看作误差函数的偏导数的向量。
每个boid都记录了它所经历过的最佳位置，这在一定程度上影响了boid的当前速度。
这将是整群鸟见过的最好的位置。因此，它会以预定的速率影响所有boid的速度。

通过使用上述规则，我们可以轻松得出将驱动每个boid的数学方程式。
在这里插入图片描述

计算Delta V的向量表示

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在以上等式中：

$w$ ：表示惯性，决定了boid的当前速度对 $\Delta V$ 的影响程度；
$c_1, c_2$ ：定义了boid和swarm的最佳记录位置（best-recorded position）将如何分别影响 $\Delta V$ ；

$w, c_1, c_2, learningRate$ 是在优化过程中应微调的超参数。

粒子群优化算法伪代码：
在这里插入图片描述
其中：

$V_i(k+1)$ 是下一个迭代速度；
$W$ 是惯性参数。该参数影响最后速度值给定的运动传播。
$C_1, C_2$ 是加速度系数。 $C_1$ 赋予个体最佳值的重要性，而 $C_2$ 则代表群体最佳值的重要性。
$P_i$ 是个体最佳位置， $P_g$ 是群体最佳位置。在方程式中，衡量了每个参数到粒子实际位置的距离。
$rand_1$ 和 $rand_2$ 是随机数，其中 $0 \leq r a n d \leq 1$ ，它们控制每个值的影响：群体和个体，如下所示。

4. 代码实现

使用Python来实现对群体智能背（swarm intelligence）后的数学理论进行了讨论和建模。为了测试算法，Rastrigin函数将被用作误差函数，这是优化问题中最具挑战性的函数之一。在平面上有很多余弦振荡会引入无数的局部极小值，在这些极小值中，boid会卡住。（图自：Source）
在这里插入图片描述

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import numpy as npdef error(current_pos):x = current_pos[0]y = current_pos[1]return (x ** 2 - 10 * np.cos(2 * np.pi * x)) + \(y ** 2 - 10 * np.cos(2 * np.pi * y)) + 20def grad_error(current_pos):x = current_pos[0]y = current_pos[1]return np.array([2 * x + 10 * 2 * np.pi * x * np.sin(2 * np.pi * x),2 * y + 10 * 2 * np.pi * y * np.sin(2 * np.pi * y)])

如上所述，每个boid都将具有位置，速度，误差，最佳位置和已知误差（best-known error）。我们还应该编写一个setter函数来在需要时修改参数。

class Particle:def __init__(self, dim, minx, maxx):self.position = np.random.uniform(low=minx, high=maxx, size=dim)self.velocity = np.random.uniform(low=minx, high=maxx, size=dim)self.best_part_pos = self.position.copy()self.error = error(self.position)self.best_part_err = self.error.copy()def setPos(self, pos):self.position = posself.error = error(pos)if self.error < self.best_part_err:self.best_part_err = self.errorself.best_part_pos = pos

粒子群算法类将由误差函数表面上的移动粒子列表组成。要初始化函数，需要函数的维数、boids的数量以及纪元的数量。

class PSO:w = 0.729c1 = 1.49445c2 = 1.49445lr = 0.01def __init__(self, dims, numOfBoids, numOfEpochs):self.swarm_list = [self.Particle(dims, -500, 500) for i in range(numOfBoids)]self.numOfEpochs = numOfEpochsself.best_swarm_position = np.random.uniform(low=-500, high=500, size=dims)self.best_swarm_error = 1e80  # Set high value to best swarm error

最后，编写代码来找到最佳优化误差函数的位置。首先，在每个时期，每个粒子都被逐个挑选并优化其位置。一旦粒子的位置更新，“如果”语句检查它是否是粒子群的最佳位置。

def optimize(self):for i in range(self.numOfEpochs):for j in range(len(self.swarm_list)):current_particle = self.swarm_list[j]  # get current particleVcurr = grad_error(current_particle.position)  # calculate current velocity of the particledeltaV = self.w * Vcurr \+ self.c1 * (current_particle.best_part_pos - current_particle.position) \+ self.c2 * (self.best_swarm_position - current_particle.position)  # calculate delta Vnew_position = self.swarm_list[j].position - self.lr * deltaV  # calculate the new positionself.swarm_list[j].setPos(new_position)  # update the position of particleif error(new_position) < self.best_swarm_error:  # check the position if it's best for swarmself.best_swarm_position = new_positionself.best_swarm_error = error(new_position)print('Epoch: {0} | Best position: [{1},{2}] | Best known error: {3}'.format(i,self.best_swarm_position[0],self.best_swarm_position[1],self.best_swarm_error))

运行PSO并观察算法的性能。

pso = PSO(dims=2, numOfBoids=30, numOfEpochs=500)
pso.optimize()

...
Epoch: 27 | Best position: [2.1199768747964054,-1.1332450655810595] | Best known error: 11.792438949384607
Epoch: 28 | Best position: [2.1199768747964054,-1.1332450655810595] | Best known error: 11.792438949384607
Epoch: 29 | Best position: [2.1199768747964054,-1.1332450655810595] | Best known error: 11.792438949384607
Epoch: 30 | Best position: [2.1199768747964054,-1.1332450655810595] | Best known error: 11.792438949384607
Epoch: 31 | Best position: [2.1199768747964054,-1.1332450655810595] | Best known error: 11.792438949384607
Epoch: 32 | Best position: [1.0839903018536725,-1.1678886593978168] | Best known error: 8.966098069909691

从下面的等高线图可以很容易地看出，swarm只需要几个纪元就能收敛到Rastrigin函数的全局最小值。要获得创建轮廓可视化的代码以及过程的错误时期图，可以参考：T. Ahadli, Particle Swarm Optimization C++/Python Project Codes。

在这里插入图片描述
完整代码


"""
Copyright © 2020 Tarlan Ahadli
"""import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef error(current_pos):x = current_pos[0]y = current_pos[1]return (x ** 2 - 10 * np.cos(2 * np.pi * x)) + \(y ** 2 - 10 * np.cos(2 * np.pi * y)) + 20def grad_error(current_pos):x = current_pos[0]y = current_pos[1]return np.array([2 * x + 10 * 2 * np.pi * x * np.sin(2 * np.pi * x),2 * y + 10 * 2 * np.pi * y * np.sin(2 * np.pi * y)])class PSO:class Particle:def __init__(self, dim, minx, maxx):self.position = np.random.uniform(low=minx, high=maxx, size=dim)self.velocity = np.random.uniform(low=minx, high=maxx, size=dim)self.best_part_pos = self.position.copy()self.error = error(self.position)self.best_part_err = self.error.copy()def setPos(self, pos):self.position = posself.error = error(pos)if self.error < self.best_part_err:self.best_part_err = self.errorself.best_part_pos = posw = 0.729c1 = 1.49445c2 = 1.49445lr = 0.01def __init__(self, dims, numOfBoids, numOfEpochs):self.swarm_list = [self.Particle(dims, -500, 500) for i in range(numOfBoids)]self.numOfEpochs = numOfEpochsself.best_swarm_position = np.random.uniform(low=-500, high=500, size=dims)self.best_swarm_error = 1e80  # Set high value to best swarm errordef optimize(self):for i in range(self.numOfEpochs):for j in range(len(self.swarm_list)):current_particle = self.swarm_list[j]  # get current particleVcurr = grad_error(current_particle.position)  # calculate current velocity of the particledeltaV = self.w * Vcurr \+ self.c1 * (current_particle.best_part_pos - current_particle.position) \+ self.c2 * (self.best_swarm_position - current_particle.position)  # calculate delta Vnew_position = self.swarm_list[j].position - self.lr * deltaV  # calculate the new positionself.swarm_list[j].setPos(new_position)  # update the position of particleif error(new_position) < self.best_swarm_error:  # check the position if it's best for swarmself.best_swarm_position = new_positionself.best_swarm_error = error(new_position)print('Epoch: {0} | Best position: [{1},{2}] | Best known error: {3}'.format(i,self.best_swarm_position[0],self.best_swarm_position[1],self.best_swarm_error))pso = PSO(dims=2, numOfBoids=30, numOfEpochs=500)
pso.optimize()

5. Conclusion

总而言之，粒子群优化（Particle Swarm Optimization）模拟了鸟或鱼群的集体行为。它受益于自然界解决自身优化问题的方式，以最大限度地减少能量使用。自然的设计和原理在计算机科学问题上有很多出色的实际应用。

参考资料

Nature-Inspired Optimization Algorithms: Particle Swarm Optimization Using Python
Implementing the Particle Swarm Optimization (PSO) Algorithm in Python