文章目录

一、粒子群优化算法(PSO)是什么？
二、粒子群优化算法有什么用？
三、粒子群优化算法的适用范围？
四、算法简介(有助于理解)
五、算法流程
- 第一步：初始化
- 第二步：计算粒子的适应度
- 第三步：更新个体极值与全局最优解
- 第四步：更新个体的速度和位置
- 第五步：设置终止条件
六、matlab代码实现
七、运行结果
- 1、各粒子的初始状态位置
- 2、各粒子的状态位置变化图
- 3、各粒子的最终收敛位置
- 4、收敛过程
七、粒子群优化算法的使用流程图
八、粒子群优化算法的特点：
九、拓展知识
十、总结：
十一、参考附录：

敲到码穷处，望尽天涯路。🍋

数学建模系列文章——总结篇：《数模美一国一退役选手的经验分享[2021纪念版]》.

一、粒子群优化算法(PSO)是什么？

粒子群优化算法(Particle Swarm optimization,PSO) 是一种通过 模拟鸟群觅食行为 而发展起来的一种 基于群体协作 的 随机搜索 算法。

设想这样一个场景：一群🐦在随机搜索🐛。在这个区域处处分散着虫子。所有的🐦都不知道🐛最集中的地方在哪里。
但是它们知道各自目前位置的虫子密度和其他鸟周围的虫子密度。那么找到目标地点的最优策略是什么呢？

最简单有效的策略就是：

1. 众鸟一起去搜寻目前在虫子密度区域最大的鸟的周围区域。

2. 根据自己飞行的经验，来判断虫子密度最大的区域的所在。

算法核心思想：PSO的基础是信息的“社会共享”

二、粒子群优化算法有什么用？

和蚁群算法、遗传算法类似，包括粒子群算法，这三者都属于 无约束 的优化算法，属于全局搜索算法，是 启发式 算法。

它只能够得到全局最优的近似解，可能得不到全局最优解。

这些算法可以用在全局路径搜索、网络路由规划、寻找复杂函数的最值点等应用，比如 TSP路线搜索。

三、粒子群优化算法的适用范围？

该算法可以用在，关于大数据、复杂度高、目标函数复杂的要求要解出最优值的问题中。

也可将其作为辅助模型来搭配主流模型，将两个模型的结果做一个对比、分析。看看智能优化算法与主流模型的差距。

四、算法简介(有助于理解)

在PSO中，搜索空间中的每一只鸟对应优化问题的每个解。我们将 “鸟” 称之为 “粒子” 。

所有的粒子都有一个 “随身携带” 的属性，即需优化的目标函数所计算出的适应值(fitness value)。每个粒子还有两个属性一个是飞翔的速度，另一个是当前的位置。
然后粒子们就追随当前的最优粒子，动态地在解空间中搜索全局最优解。

五、算法流程

我们以两个例子(第2个例子在 十、拓展 一栏)作跳板，从 1维到多维，由易到难。

假设我现在要解决 1维空间的问题（比如：求如下函数的最大值问题）
$x\times sin(x) cos(2x) - 5 x \times sin(3x) ，其中，x∈[0,20]$

在这里插入图片描述

第一步：初始化

在 $D = 1$ 维的空间里，初始化有 $N$ 个粒子，这些粒子分别初始化有以下属性 ( 因为这些粒子只能在 $x$ 轴上运动，所以我称之为一维 )：

①第 $i$ 个粒子的位置： $x_i，i=1,2,...,N$

②第 $i$ 个粒子的速度： $v_i，i=1,2,...,N$

③第 $i$ 个粒子所经过的最好的位置： $pbest_i，i=1,2,...,N$
注：“pbest” 中的 “p” 指得是 “PSO” 中的 “P” → Particle(中文翻译：粒子)

④整个粒子群所经过的最好的位置： $g b e s t$
注：“gbest” 中的 “g” 指得是 Group .

⑤给所有粒子的位置加上限制： $xlimit_i∈[X_{min},X_{max}]，i=1,2,...,N$ 。
在上面这个例子里面就是 $xlimit_i∈[0,20]，i=1,2,...,N$

⑥给所有粒子的速度加上限制： $vlimit_i∈[V_{min},V_{max}]，i=1,2,...,N$

⑦设置迭代次数 $i t e r$ 。这个例子我假设 $i t e r = 50$ 。

⑧设在每次迭代过程中，粒子们的自我学习因子 $c_1$ 。它用来调节粒子每次移动的步长受 “自我” 的影响因素大小。

⑨设在每次迭代过程中，粒子们的群体学习因子 $c_1$ 。它用来调节粒子每次移动的步长受 “群体” 的影响因素大小。

⑩设在每次迭代过程中，粒子们的惯性权重为 $w$ 。它是一个非负数，用来体现继承上一刻自己速度的 “能力”。

第二步：计算粒子的适应度

这里的适应度函数就是 $x\times sin(x) cos(2x) - 5 x \times sin(3x)$

将第 $i$ 个粒子当前的位置 $x_i$ 带入即可得到该粒子当前的适应度 $f(x_i)$ 。

第三步：更新个体极值与全局最优解

更新第 $i$ 个粒子的个体最佳适应度 $f_{pbest}(x_i)$ 和群体整体的最佳适应度 $f_{gbest}$ 。这两个不仅可以用来画后面的 收敛图，还可以用到 第五步中的方案② 。

再根据 $f_{pbest}(x_i)$ 更新粒子的最佳位置 $pbest_i，i=1,2,...,N$ 。

再从这些最佳位置 $pbest_i$ 中找到一个群体的最佳位置 $g b e s t$ ，叫做 本次迭代 的全局最佳位置。

第四步：更新个体的速度和位置

更新公式如下： $v_i = v_i \times w + c_1 \times rand() \times ( pbest_i - x_i) + c_2 \times rand() \times (gbest - x_i)$ $x_i=x_i+v_i$ 说明：①rand() 是 matlab 里面的一个产生 [0,1]之间的随机数函数。

②若在迭代过程中，第 $i$ 个粒子的位置 $x_i$ 超过了边界 $X_{min},X_{max}]$ ，则该粒子的 $x_i$ 被调节为 $X_{min}$ 或 $X_{max}$ 。(看它是超过了下限还是上限)。同理，对于 $v_i$ 也是这样处理。

第五步：设置终止条件

终止条件一般有这两种方案：

①达到设定迭代次数。

②某一指标与理想目标的差值满足某一最小界限。(可以理解为精度达到某一要求)

若未达到终止条件，则转到第二步。对于这个样例，我采用的是 “终止方案①”。

六、matlab代码实现


clc;clear;close all;
f= @(x) - (x - 10) .^ 2 + x .* sin(x) .* cos(2 * x) - 5 * x .* sin(3 * x) ; % 适应度函数表达式(求这个函数的最大值)  
figure(1);
fplot(f, [0 20], 'b-');                 % 画出初始图像 d = 1;                           % 空间维数(该例子是1维)  
N = 15;                          % 初始种群个数         
x_limit = [0, 20];               % 设置位置限制  
v_limit = [-1, 1];               % 设置速度限制    x = x_limit(1) + (x_limit(2) - x_limit(1)) * rand(N, d); %初始每个粒子的位置  
v = rand(N, d);                  % 初始每个粒子的速度  pbest = x;                       % 初始化每个个体的历史最佳位置 
gbest = zeros(1, d);             % 初始化种群的历史最佳位置  fp_best = zeros(N, 1);           % 初始化每个个体的历史最佳适应度 为 0  
fg_best = -inf;                  % 初始化种群历史最佳适应度 为 负无穷  iter = 50;                       % 最大迭代次数
w = 0.8;                         % 惯性权重  
c1 = 0.5;                        % 自我学习因子  
c2 = 0.2;                        % 群体学习因子 hold on;
plot(x, f(x), 'ro');
title('初始状态图');  record = zeros(iter, 1);        % 记录器(用于记录 fg_best 的变化过程)
figure(2);
i = 1; 
while i <= iter  fx = f(x) ;                 % 计算个体当前适应度     for j = 1:N        if fp_best(j) < fx(j) fp_best(j) = fx(j); % 更新个体历史最佳适应度pbest(j) = x(j);    % 更新个体历史最佳位置 end   endif fg_best < max(fp_best) [fg_best,ind_max] = max(fp_best);     % 更新群体历史最佳适应度gbest = pbest(ind_max);               % 更新群体历史最佳位置，其中 ind_max 是最大值所在的下标% 注：将上面的两个式子换成下面两个是不可以的% [gbest, ind_max] = max(pbest);      % 更新群体历史最佳位置，其中 ind_max 是最大值所在的下标% fg_best = fp_best(ind_max);         % 更新群体历史最佳适应度   end  v = v * w + c1 * rand() * (pbest - x) + c2 * rand() * (repmat(gbest, N, 1) - x); % 速度更新% 注： repmat(A,r1,r2):可将矩阵 扩充 为每个单位为A的r1*r2的矩阵% 边界速度处理  v(v > v_limit(2)) = v_limit(2);v(v < v_limit(1)) = v_limit(1);  x = x + v;% 位置更新  % 边界位置处理  x(x > x_limit(2)) = x_limit(2);  x(x < x_limit(1)) = x_limit(1);  record(i) = fg_best;%最大值记录  % 画动态展示图zuo_x = 0 : 0.01 : 20;  plot(zuo_x, f(zuo_x), 'b-', x, f(x), 'ro');title('状态位置变化')  pause(0.1)  i = i + 1;
%     if mod(i,10) == 0   % 显示进度
%         i
%     end
end  
figure(3);
plot(record);
title('收敛过程'); 
zuo_x = 0 : 0.01 : 20;  figure(4);
plot(zuo_x, f(zuo_x), 'b-', x, f(x), 'ro');
title('最终状态图')disp(['最佳适应度：',num2str(fg_best)]);  
disp(['最佳粒子的位置x：',num2str(gbest)]);

七、运行结果

1、各粒子的初始状态位置

在这里插入图片描述
🐟 🐟 🐟

2、各粒子的状态位置变化图

在这里插入图片描述
🐟 🐟 🐟

3、各粒子的最终收敛位置

在这里插入图片描述
🐟 🐟 🐟

4、收敛过程

在这里插入图片描述
注：x 轴代表的是迭代次数，y 轴代表的是群体的历史最佳适应度 $f_{gbest}$ 。

七、粒子群优化算法的使用流程图

稍微总结一下：
在这里插入图片描述

八、粒子群优化算法的特点：

（1）它是一类不确定算法。不确定性体现了自然界生物的生物机制，并且在求解 某些特定问题 方面优于 确定性算法 。

（2）是一类 概率型 的全局优化算法。非确定算法的优点在于算法能有更多机会求解全局最优解。

（3）不依赖于优化问题本身的严格数学性质。

（4）是一种基于多个智能体的 仿生优化算法 。粒子群算法中的各个智能体之间通过 相互协作 来更好的适应环境，表现出与环境交互的能力。

（5）具有自组织性、进化性和记忆功能，所有粒子都保存有最优解的相关属性。

（6）都具有稳健性。稳健性是指在不同条件和环境下算法的实用性和有效性，但是现在 粒子群算法的数学理论基础还不够牢固 ，算法的收敛性还需要讨论。

九、拓展知识

上面个例子是针对于 1维的情况，但是在实际生活中，我们往往是要解决多维的问题。
虽然维度 $D$ 增加了，但算法的核心思想还是没有变。
知识代码要做相应的变化。下面就以 2维的例子大致讲一下。（主要是代码变了点）

假设我现在要解决 2维空间的问题（比如：求如下函数的最大值问题）
$x^2 - y^2 + 10 \times cos(2 \pi x) + 10*cos(2 \pi y) + 100，其中，x∈[-10,10] ，y∈[-5,5]$

在这里插入图片描述


该函数x新建在 f_xy.m 文件里面
function z = f_xy(x, y)
% 适应度函数
z = - x.^2 - y.^2 + 10*cos(2*pi*x) + 10*cos(2*pi*y) + 100;
end% 主调用函数
clc;clear;close all;
[ZuoBiao_x, ZuoBiao_y] = meshgrid(-10:0.1:10,-5:0.1:5);   % 产生二维坐标
ZuoBiao_z = f_xy(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y);
figure(1);
s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z);      % 画网格曲面图
s.FaceColor = 'flat';    % 修改网格图的属性% 初始化种群 
N = 100;                        % 初始种群个数  
D = 2;                          % 空间维数  
iter = 50;                      % 迭代次数       
x_limit = [-10, 10; -5, 5];     % 位置限制  
v_limit = [ -2,  2; -1, 1];     % 速度限制  x = zeros(N, D);
for i = 1:D x(:,i) = x_limit(i, 1) + (x_limit(i, 2) - x_limit(i, 1)) * rand(N, 1);%初始种群的位置  
end  
v(:,1) = rands(N, 1) * 1;       % 初始种群x方向的速度 
v(:,2) = rands(N, 1) * 2;       % 初始种群y方向的速度 p_best = x;                     % (初始化)每个个体的历史最佳位置  
f_best = zeros(1, D);           % (初始化)种群的历史最佳位置  fp_best = zeros(N, 1) - inf;    % (初始化)每个个体的历史最佳适应度为负无穷  
fg_best = -inf;                 % (初始化)种群历史最佳适应度为负无穷w = 0.8;                        % 惯性权重
c1 = 0.5;                       % 自我学习因子  
c2 = 0.5;                       % 群体学习因子 figure(2);
s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z);    % 画网格曲面图
s.FaceColor = 'flat';                         % 修改网格图的属性
hold on;
plot3(x(:,1), x(:,2),f_xy(x(:,1), x(:,2)), 'ro');
title('初始状态图');  figure(3); 
i = 1;  
record = zeros(iter, 1);                 % 记录器  
while i <= iter  fx = f_xy(x(:,1), x(:,2));       % 个体当前适应度     for j = 1:N        if fp_best(j) < fx(j)        % 记录最大值fp_best(j) = fx(j);      % 更新个体历史最佳适应度  p_best(j,:) = x(j,:);    % 更新个体历史最佳位置  end   end  if fg_best < max(fp_best)  [fg_best, ind_max] = max(fp_best);    % 更新群体历史最佳适应度  f_best = p_best(ind_max, :);          % 更新群体历史最佳位置  end  v = v * w + c1 * rand() * (p_best - x) + c2 * rand() * (repmat(f_best, N, 1) - x); % 速度更新% 速度处理for t=1:Nfor k=1:Dif v(t,k) > v_limit(k,2)      % 超速处理v(t,k) = v_limit(k,2);elseif v(t,k) < v_limit(k,1)  % 慢速处理v(t,k) = v_limit(k,1);end   endendx = x + v;            % 位置更新% 边界处理for t=1:Nfor k=1:Dif x(t,k) > x_limit(k,2)      % 超过边界上限x(t,k) = x_limit(k,2);elseif x(t,k) < x_limit(k,1)  % 超过边界下限x(t,k) = x_limit(k,1);endendendrecord(i) = fg_best;   % 最大值记录  i = i + 1;if mod(i,10)  == 0i                  % 收敛进度输出endpause(0.1) endfigure(4)
plot(record);
title('收敛过程');% 画最终状态图
figure(5);
[ZuoBiao_x, ZuoBiao_y] = meshgrid(-10:0.1:10,-5:0.1:5);   % 产生二维坐标 
s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z);      % 画网格曲面图
s.FaceColor = 'flat'; % 修改网格图的属性
hold on;
scatter3(x(:,1), x(:,2), f_xy(x(:,1), x(:,2)), 'ro');
title('最终状态图')disp(['最大值：',num2str(fg_best)]);
disp(['变量取值：',num2str(f_best)]);% 下面一段用来输出 粒子群最佳适应度的排行榜
[socre,ind] = sort(fp_best, 'descend')  % 降序排序
DaAn = zeros(3,2);
for i=1:Nrow = ind(i);DaAn(i,:) = p_best(row,:);
end