MATLAB之拉氏变换

article/2025/9/28 13:21:54

一、复数和复变函数

1、复数的三种表现形式：

坐标形式： $s=a +b*i$ 三角形式： $z=r*[cos(\theta )+i*sin(\theta )]$ 指数形式： $z=r*e^(i\theta)$

2、复变函数：

复数集E内的每一个复数z=a+b*i，都有(唯一确定的/无穷多个/有限个)复数 $w=u+i*v$ 与之对应,可以确定（单值/多值）复变函数。

$w=f(z)=u(a,b)+i*v(a,b),z\epsilon E$

3、零点和极点

$G(s)=[k*(s-z1)*(s-z2)]/[s*(s-p1)*(s-p2)]$

零点：分子为零的点，即G(s)=0时,s=z1,z2叫做G(s)的零点；

极点：分母为零的点，即G(s)=∞时,s=p1,p2叫做G(s)的极点；

二、拉氏变换

1、拉氏变换

拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)的函数。拉氏变换建立了时域与复频域(s域)之间的联系。

$F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{+oo}f(t)*e\wedge (-st)*dt$

式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。

2、拉式逆变换

拉氏变换是将时间函数F(s)变换为复变函数f(t)的函数。

$f(t)=L\wedge (-1)[F(s)]=\int_{a-b*i}^{a+b*i}F(s)*e\wedge (st)*ds$

式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。

3、典型时间函数的拉氏变换

欧拉公式：e^iθ=cosθ+isinθ,

推倒可得：（正余弦函数拉氏变换推导使用）

sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2i

cosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2i

单位阶跃函数：

，

单位脉冲函数：

单位斜坡函数：

指数函数：

正弦函数：

余弦函数：

幂函数：

4、拉氏变换的性质

叠加定理

齐次性：L[a*f(t)]=a*F(s)、叠加性： $L[f1(t)+f2(t)]=F1(s)+F2(s)$ ，齐次性和叠加性的组合起来就是拉氏变换的线形性质

线性性质： $L[k1*f1(t)+k2*f2(t)]=k1*F1(s)+k2*F2(s)$

微分定理

L[df(t)/dt]=s*F(s)-f(0) 同理可得f(t)的各阶导数的拉氏变换时：

L[d^2f(t)/dt]=s^2*F(s)-s*f(0)-f'(0)

L[d^3f(t)/dt]=s^3*F(s)-s^2*f(0)-s*f'(0)-s''(0).......

复微分定理

L[t*f(t)]=-dF(s)/d(s)、

L[t^2*f(t)]=-d^2F(s)/d(s^2)、

......、

L[t^n*f(t)]=-d^nF(s)/d(s^n)

积分定理

$L[\int f(t)dt]=F(s)/s+f^\wedge (-1)(0)/s$

多重积分：

$L[\int...\int f(t)dt]=F(s)/s^n+f^\wedge (-1)(0)/s^n+...+f^\wedge (-1)(0)/s$

位移定理

L[e^(-at)*f(t)]=F(s+a)

延迟定理

L[f(t-a)]=e^(-a)*F(s),函数f(t-a)为函数f(t)延时间轴延迟了a。

初值定理和终值定理

原函数在t=0处的初值，等于s*【F(s)的终值】

$\lim_{x\rightarrow0}f(t)=\lim_{s\rightarrow oo}s*F(s)$

原函数在t=+∞处的终值，等于s*【F(s)的初值】

$\lim_{x\rightarrow oo}f(t)=\lim_{s\rightarrow 0}s*F(s)$

卷积定理

两个原函数卷积的拉氏变换=它们象函数的乘积

L[f(t)*g(t)]=F(s)*G(s)

三、拉氏逆变换

拉氏逆变换有三种方法：查表法、留数定理法、部分分式法。

1、查表法：由拉氏变换表直接查出与像函数F(s)对应的原函数f(t)。

2、留数定理法：利用留数定理计算像函数的原函数。

3、部分分式法：先把像函数分解为部分分式，再对各个分式进行逆变换。

这里给出了拉氏逆变换例题的网址，读者可以自行练习。

https://wenku.baidu.com/view/d6335d6f3968011ca300915a.html

四、matlab代码

%拉式变换
clc
clear
syms s t
y=exp(-t)*cos(t); %原函数
LY=laplace(y)   %拉氏变换
L_1=ilaplace(LY) %拉氏逆变换
e=L_1-y  %做差检查结果是否正确
%原函数与象函数图像绘制
subplot(1,2,1)
fplot(y);%原函数图像
title("原函数图像")
legend("原函数")
subplot(1,2,2)
fplot(LY)%象函数图像
title("象函数图像")
legend("象函数")