拉氏变换的理解

一个函数f(t)的Laplace变换定义为

F(s)=
这个式子说的是一件这样的事情：F(s)是实空间函数f(t)在复空间中以在这里插入图片描述为基底的投影。

解释

首先，定义复空间上两个函数f,g的内积为

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很容易知道是复空间中的一组正交基。那么根据内积的意义——一个函数与另一个函数的内积，是这个函数在另一个函数方向上的投影，可得实函数f(t)在复空间基底上的投影为

为方便起见，令s=jw表示虚变量。（我们后面可以看到它更深层的意义。）则可将该投影式记为
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（这里的s与实数域中的t相对应，都表示空间上的变量）
同理可证f(t)是F(s)在实空间中的投影。
有了实空间中f(t)与复空间中F(s)的一一对应投影关系，我们就可以通过在复空间中对[公式]进行分析和运算，从而获知实空间中f(t)的性质和运算结果。在做这件事情之前，首先需要对实空间和复空间中的运算关系进行定义。
定义微分算子（这里的define等号表示的是对应关系，而不表示相等）
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这是因为
(设定初值为0)
从复空间中微分算子的定义就可以看出选择
作为基底的好处了。因为复指数函数有一个最大的优点，就是对它求导等于它自身乘一个数。因此，当我们在实空间中对f(t)求一次导数时，在复空间中只需要将它对应的投影式乘以微分算子s。这样就极大地简化了求导运算。
类似可定义积分算子为
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即对f(t)进行一次积分，只需对其投影式除以s。

传递函数的定义

现实的许多系统的输入输出关系都可以用微分方程来描述。比如最简单的，一个RLC电路，给定它两端的电压ui，输出电容上的电压uo。这个系统就可以用微分方程来描述它的I/O关系。一般零初值线性系统的微分方程形式如下：
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从理论上讲，描述这个系统的全部固有特征，只需要记录方程左端的系数向量就可以了。但是用常微分方程的方法去研究这个方程解的性质往往十分困难（尤其是在无法用计算机求解高次特征方程的上古年代）。所以为了研究微分方程解的性质的方便，我们把这个方程两端的复空间投影式（Laplace 变换）之比定义为系统的传递函数。即

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在常微分方程中，方程左端系数的值决定了方程的通解，而右端函数则决定了方程的特解。特解往往是稳恒的，而通解随时间的变化情况（尤其是它最后能否收敛至0）决定了系统的稳定性。因此方程左端对应的Laplace变换式R(s)显得尤为重要，故称R(s)=0为传递函数的特征方程。
由初等数学中的部分分式可知，任意两个多项式之比（设分子次数不高于分母次数）总能分解为一系列一次分式和二次分式的和。即
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由Laplace逆变换可知，只有当分母R(s)=0的根的实部全部小于0时，逆变换得到的f(t)上的指数才是负值，其振幅才会收敛于0。否则，只要有一个根具有正实部，f(t)的结果就会出现正指数，随时间推移，振幅会趋向于无穷大，系统将不可能稳定。对于临界稳定的情况，由于这种系统极易受到干扰而使得根位于正半平面，因此将其归类为不稳定系统。
因此，系统稳定的充分必要条件是：传递函数所有的极点位于左半复平面上。这就引出了如何判断这些根的位置的问题。在可以利用计算机求解高次方程的时代，这已经完全不是一个问题。但是在无法求解这些方程的年代，就需要用一些辅助定理来在不解出方程的前提下判断根的位置，这就是劳斯判据的由来。