矩阵连乘问题：

给定n 个矩阵(A0,A1,....An-1) 其中 Ai 和 Ai+1 是可乘的， i=0, 1,... , n-2 .

求解计算这n 个矩阵的连乘积A0A1....An-1 。

由于矩阵连乘满足结合律，因此矩阵的乘法可以有多种不同的计算次序，每种计算次序对应不同的数乘次数。可以利用加括号的方式确定计算次序。如果矩阵连乘完全加了括号，则说明计算次序确定。

例如 三个矩阵{A0,A1,A2} 连乘，其中矩阵的维数 分别为 10*100    100*5    和 5*50

其中有两种计算次序：    

 /// 数乘次数 = 左矩阵行数 * 右矩阵列数 * 左矩阵列数

第一种：（A0*A1)*A2   ； 该种加括号的方式： 数乘次数 = 10 *5 *100 +10*50*5 =7500

第二种： A0*(A1*A2）  ， 该种加括号的方式： 数乘次数  =  100*50*5 +10*50*100 =75000

 

思想： 计算Ai*....Aj  的次数 =  Ai*...*Ak 的次数+ Ak+1 * ...*Aj 的次数 +  左右矩阵相乘的数。

/// Pk 代表从k 处划分右矩阵的行数，  pj 代表 右矩阵相乘后的列数，    pi 代表 右矩阵的列数 

对于一组矩阵:A1(30x35),A2(35x15),A3(15x5),A4(5x10),A5(10x20),A6(20x25)    个数N为6

那么p数组保存它们的行数和列数：p={30,35,15,5,10,20,25}共有N+1即7个元素///最后第7个元素即为最后一个矩阵的列数

p[0],p[1]代表第一个矩阵的行数和列数，p[1],p[2]代表第二个矩阵的行数和列数......p[5],p[6]代表第六个矩阵的行数和列数

具体思想： 初始化，每个矩阵链长度为1 的数乘次数为0   即（m[i][i]==0)

当计算链长大于1 时， 利用前面已经算出结果， 求解问题：

 m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i+1]*p[i]*p[j+1]; ///利用之前划分的结果

最后在对 i ~  j  的矩阵 划分， 看是否有比原结果更小的划分。

  for(int r=i+1;r<j;r++){     /// 进一步求子列的最优解
          int  t=m[i][r] + m[r+1][j] + p[i]*p[r+1]*p[j+1];
            if(t<m[i][j]){
                s[i][j]=r;///记录划分点
                m[i][j]=t;
            }

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N =7;
void MartrixChain(int p[],int n,int s[][N],int m[][N])
{int i,j,k;for(i=0;i<n;i++)///i 到 i 表示的是 A0 ~ An-1 的单个矩阵，独立的矩阵，所以计算次数为0m[i][i]=0;for(k=2;k<=n;k++)///代表相乘矩阵的个数为 Kfor(i=0;i<n-k+1;i++){j=i+k-1;///i 为子列的起点， j 为末端m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i+1]*p[i]*p[j+1]; ///利用之前划分的结果s[i][j]=i;//记录划分点for(int r=i+1;r<j;r++){     /// 进一步求子列的最优解int  t=m[i][r] + m[r+1][j] + p[i]*p[r+1]*p[j+1];if(t<m[i][j]){s[i][j]=r;///记录划分点m[i][j]=t;}}}
}
void TraceBack(int s[][N],int i,int j)
{if(i==j) return ;cout<<"(";TraceBack(s,i,s[i][j]);TraceBack(s,s[i][j]+1,j);cout<<")";}
int main()
{int R[]={30,35,15,5,10,20,25};int m[N][N];int s[N][N];MartrixChain(R,6,s,m);TraceBack(s,0,5);return 0;
}