一个引言

定义

确定性时间序列分析方法概述

确定性时间序列模型类型

移动平均法

简单移动平均法

加权移动平均法

趋势移动平均法

指数平滑法

一次指数平滑法

1．预测模型编辑

2．加权系数的选择编辑

3．初始值的确定编辑

二次指数平滑法编辑

三次指数平滑法编辑

指数平滑预测模型的评价

一般自回归模型 AR(n)

白噪声序列编辑

移动平均模型 MA(m)编辑

自回归移动平均模型编辑

ARMA 模型的特性

AR(1)系统的格林函数

ARMA (2,1)系统的格林函数的隐式编辑

逆函数和可逆性编辑

一个引言

时间序列是时间间隔不变的情况下收集的时间点集合。分析这些集合来确定长期趋势，为了预测未来或进行其他形式的分析。但是什么使Time Series不同于常规回归问题呢？有两个原因：
1. 时间序列是与时间有关的。因此线性模型的基础假设：观察值是独立的是不适应这个场景的。
2. 伴随着增加和减少的趋势，大多数时间序列会存在季节性趋势，比如，特定时间的特定变化。例如，如果你看到羊毛夹克随时间变化的销量，你一定会发现冬季的销量会很高。

定义

时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。

按 研究对象的数量，有 一元时间序列 和 多元时间序列

按 时间的连续性，有 离散时间序列 和 连续时间序列

按 序列的统计特性，有平稳时间序列和 非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间t无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足：

（1）均值为常数

（2）协方差为时间间隔γ的函数，则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。

按 时间序列的分布规律 来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。

确定性时间序列分析方法概述

时间序列预测技术是通过对预测目标自身时间序列的处理，从而研究其变化趋势。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。我们常认为一个时间序列可以分解为以下四大部分：

（1）长期趋势变动（T）。指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。

（2）季节变动（S）。在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动。

（3）循环变动（C）。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。

（4）不规则变动（I）。是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种模型。

确定性时间序列模型类型

我们通常用 $T_t$ 表示长期趋势项， $S_t$ 表示季节变动趋势项， $C_t$ 表示循环变动趋势项， $R_t$ 表示随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：

（1）加法模型

$y_t = T_t + S_t + C_t + R_t$

（2）乘法模型

$y_t = T_t * S_t * C_t * R_t$

（3）混合模型

$y_t = S_t + T_t*C_t*R_t$

$y_t = T_t*S_t +R_t$

其中 $y_t$ 是观测目标的观测记录， $E(R_t) = 0$ ， $E(R_t^2)=\sigma ^2$ 。如果在预测时间范围内，无突然变动且随机变动的方差 $\sigma ^2$ 较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。

移动平均法

移动平均法（Moving average,MA）可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

简单移动平均法

近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。预测标准误差小者为好。

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

加权移动平均法

在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。

例 2 我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年的产量

趋势移动平均法

简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。一次移动的平均数为

例 3 我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发电总量。

解由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法来预测。

指数平滑法

一次指数平滑法

1．预测模型

2．加权系数的选择

3．初始值的确定

例 4 某市 1976～1987 年某种电器销售额如表 4 所示。试预测 1988 年该电器销售额。

二次指数平滑法

例 5 仍以例 3 我国 1965～1985 年的发电总量资料为例，试用二次指数平滑法预测 1986 年和 1987 年的发电总量

三次指数平滑法

例 6 某省 1978～1988 年全民所有制单位固定资产投资总额如表 7 所示，试预测 1989 年和 1990 年固定资产投资总额。

指数平滑预测模型的评价

指数平滑预测模型是以时刻t为起点，综合历史序列的信息，对未来进行预测的。选择合适的加权系数 α 是提高预测精度的关键环节。根据实践经验， α 的取值范围一般以 0.1～0.3 为宜。 α 值愈大，加权系数序列衰减速度愈快，所以实际上 α 取值大小起着控制参加平均的历史数据的个数的作用。 α 值愈大意味着采用的数据愈少。因此，可以得到选择 α 值的一些基本准则。

（1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则 α 值应取小一些， 以减少修正幅度，使预测模型能包含更多历史数据的信息。

（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化，则 α 值应取得大一些。这样，可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。