历史事件

众所周知，SPFA是一种对Bellman-Ford算法的优化。国内业界首次提出是1994年西南交通大学的段凡丁在学报上发表的论文。但实际上早在1956年Bellman-Ford算法提出的论文里已经提到了用类似bfs的队列方式松弛，之后国外也有人用过。段凡丁只是起了个名字。另外，这篇论文漏洞很多(作者自己的观点几乎全是错的)，而且作者思考比较简单(应该是限于当时国内的业界水平，因为从段老师后期的著作看，他挺厉害的)。所以没人承认SPFA是段凡丁提出的。国内第一次清晰正确提出的SPFA算法应该是2009年，中山纪念中学一位姜同学的国家集训队论文。但他毕竟是个高中生，写论文功力不太成熟。目前写的比较严谨的是华东师大可信实验室的SPFA论文。这些论文想读都可以直接百度搜到。

Bellman-Ford算法简述和证明

• 设图有n个点，m条边。
• SPFA的理论基础是 Bellman-Ford算法。Bellman-Ford算法的理论依据是每个边最多被松弛n-1次，否则有负权环。
• 代码：

int Bellman_Ford(int x){for(int i=1;i<=n;i++){dist[i]=oo;}dist[x]=0;for(int i=1;i<n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)if(dist[e[j].y]>dist[e[j].x]+e[j].w)dist[e[j].y]=dist[e[j].x]+e[j].w;}for(int j=1;j<=m;j++)if(dist[e[j].y]>dist[e[j].x]+e[j].w)return -1;return 1;	
}

• 证明每个边最多被松弛n-1次，否则有负权环。如果源点到点x有最短路，路径经过的点数有限，那么路径经过边数数最多是n。所以只要证明源点到某点x的最短路径path，在$len(path)$轮松弛后一定能浮现出来。其中$len(path)$是最短路径path所包含的边数。
• 这个用数学归纳法就行：首先源点在0轮就已经确定了(最短路直接是0)，所以len=0时，0轮确定。如果第i轮松弛确定了path上y点的最短路$pat{h}_y$，$pat{h}_y$点数$len(pat{h}_y)=i$。那么根据上面的代码，对$path$上的y下一个点x，$edge(x,y)$在第i+1轮一定会被做松弛判断。所以x的最短路在第i+1轮一定被搜到，且$len(pat{h}_x)=i+1$。
• 所以一个边数为$l$的最短路，在$l$轮松弛后一定会被搜到。
• 而所有最短路经过的边数最多n-1,所以算法是对的。
• 如果n-1轮松弛后还边能松弛，那说明最短路经过的边数是无限的，有负权环。
• 这种算法虽然复杂度是O(nm)比迪杰斯特拉慢，但是可以跑有负权边的图，还能判断负环。

SPFA的正确代码

• SPFA和Bellman-Ford原理一样，只是有条理地改变了松弛顺序。每次从队头取个点，松弛它的相邻点。每个点被松弛(重新进队)的次数至多是源点到它的最短路的边数，证明方法还是数学归纳法，和上面的Bellman-Ford没啥区别。
• 一旦发现哪个点松弛到了n次，就说明有负环。
• 正确代码：

int spfa(int x){for(int i=1;i<=n;i++){dist[i]=oo;inq[i]=0;}dist[x]=0;int head=1,tail=0;q[++tail]=x;inq[s]=1;while(head<=tail){int cur=q[head];int sz=con[cur].size();for(int i=0;i<sz;i++){edge NE=e[con[cur][i]];if(dist[NE.x]+NE.w<dist[NE.y]){dist[NE.y]=dist[NE.x]+NE.w;cunt[NE.y]++;if(cunt[NE.y]>=n)return -1;if(!inq[NE.y]){q[++tail]=NE.y;inq[NE.y]=1;}}}head++;inq[cur]=0;}return 1;
}

段凡丁的贡献

段凡丁的论文理论根基都是不对的。

• 段凡丁的spfa算法：
  
  这个算法并没有判负环的机制。有负环就停不下来了。再看看段凡丁对于spfa正确性的证明。
• 段凡丁论文里的spfa正确性证明分成两部分：一定能找到最短路；还有算法能在有限次后收敛在最短路这两部分。
  
  作者给出的这个正确性证明就他的算法来说是正确的。这给了后人很大的启发，他做的事情是极其重要的，尽管他并没有想的足够深入。先不提他错误的复杂度，从他的代码和证明来看，他当时并没有想到每个点至多入队n-1次，没有想到负环的情况。所以他的代码在有负环时就停不下来了。再来看看他“’硬核”的复杂度分析：
  
  这个就是作者主观臆断了。凭一堆实验就强行断定复杂度，而没有理论支撑，显然是不行的。可以构造图，把SPFA的复杂度卡成O(nm)。到这里段老师写论文的心态大概是：段老师读了一些图论的论文，受到一些启发，总结可以跑负权图的单源最短路算法，取名SPFA。然后复杂度有些精妙不太好理论分析，做了大量随机（至少没有针对性）实验后就主观断定复杂度O(m)，这是理论最好复杂度。所以兴奋地认为找到了比迪杰斯特拉跑的还快，适用范围还更广的算法。所以就写了这篇论文。但不可否认的是，这给后来的中国学者提供了宝贵的经验，在1994年是难能可贵的。

正确复杂度分析

实际上，SPFA算法的最坏复杂度是θ(nm)的。

• 算法复杂度是O(nm)很好理解，因为根据算法，每次取队头判断松弛的次数最多是n-1=O(n)。最多去多少次队头呢？这就是队列的累计总长度。最坏的是：每个点被他所有入度都松弛一次而入队，这样队列长度最大一共m。所以O(nm)是成立的。实际上现实中这两种最大情况不会发生。

• 下面构造最坏的情况，使得复杂度是$\theta (nm)$：
  

  • 这个图构造方法：
    源点是1。
    i到i+1有长度1的边。
    1到i(3<=i<=n)分别有2*i+1的边。
    i（3=<i<=n）到 j（1<=j<=i-2）有+oo的边。

  • 所以模拟算法过程，首先i会被直接与源点相连那条边搜到，然后就是前面的点i-1出队一次，i被松弛入队一次。所以：$$numPop(i)=numPop(i-1)+1,numPop(1)=1$$

    所以从1~n每个点的出队次数是：
    $$1,2,3,4,...,i,...,n$$

    每次出队会扫描一遍出度，1~n的出度依次是：
    $$n-1,1,2,3,...,(i-1),...n-2,n-2$$

    所以总判断松弛次数是

  $$T=\sum _{i=1}^n(i-1)\ast i$$
  注：严格按上面的规律求出的结果和上面求和公式有O(n)级别的差值(有头尾特殊的几个和别的规律不太一样)，不影响复杂度计算，忽略不计了。
  $$\begin{gathered} T=\sum _{i=1}^n(i-1)\ast i=\sum _{i=1}^{n}i\ast i-\sum _{i=1}^{n}i \\ = \\ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}=\theta (n^3) \end{gathered}$$
  而这个图里m是$O(n^2)$的。所以复杂度是θ(mn)的。
  另外，SPFA实际跑起来不一定比Bellman-Ford快。

• 一道题的比较。我随便找了到最短路的题写了一发，结果如下：

  • SPFA的时间：
  • Bellman-Ford的时间：
  • 整体来看两者差不多，但是Bellman-Ford好像快一些。。。

• 以上就是我知道的所有的内容了。