正定矩阵Positive definite matrice

之前说过，正定矩阵是一类特殊的对称矩阵：

• 正定矩阵满足对称矩阵的特性（特征值为实数并且拥有一套正交特征向量、正 / 负主元的数目等于正 / 负特征值的数目）
• 另外，正定矩阵还具有更好的性质（所有特征值都为正实数、所有主元都为正实数、左上角的所有任意k阶（1<=k<=n）顺序主子式(i.e.左上角的子矩阵的行列式)均为正）

注意，“正定”这一说法的前提，一定是“对称矩阵”

• 原因：提出正定矩阵的概念，主要是用于研究二次型
  而任意n阶矩阵$\mathbf{B}$给出的二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{B}\mathbf{x}$，都可以被化为对称矩阵$\mathbf{A}=\frac{1}{2}(\mathbf{B}+{\mathbf{B}}^T)$给出的等价的二次型$\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^T(\mathbf{B}+{\mathbf{B}}^T)\mathbf{x}={\mathbf{x}}^T\mathbf{B}\mathbf{x}$

同理，在复数域，提到正定矩阵，前提一定是Hermite矩阵

如何判定正定矩阵？

对于实对称矩阵，满足下列条件中任意一个（均为充要条件），就是正定矩阵：

1. 满足二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$
2. 所有特征值为正实数
   推论：正定矩阵$\mathbf{A}$的逆矩阵${\mathbf{A}}^{-1}$，也是正定的（逆矩阵${\mathbf{A}}^{-1}$的特征值就是$\mathbf{A}$特征值的倒数，必然也全为正）

正定矩阵的一套正交特征向量，可以张成整个空间，空间中任意向量可以表示为$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{x}}_1+c_2{\mathbf{x}}_2+\dots c_n{\mathbf{x}}_n$，根据$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，得到${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=c_1^2{\lambda }_1+c_2^2{\lambda }_2+\dots c_n^2{\lambda }_n$，因此必须所有特征值为正，才能保证正交${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$

3. 对矩阵消元后，所有主元为正实数

后面将会看到，二次型对应一个二次多项式，对多项式配方可以轻易看出相应的图像的形状，要保证正交，即图像${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$，那么要求配方后的所有完全平方项的系数都为正，这些配方后的系数刚好就是消元后的主元！

4. 矩阵左上角所有子矩阵的行列式为正

$\mathbf{A}$正定，左上角的各个子矩阵${\mathbf{A}}_k$必然正定：${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ll}{x}_k& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_k& \ast \\ \ast & \ast \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ 0\end{array}\right]={\mathbf{x}}_k^T{\mathbf{A}}_k{\mathbf{x}}_k$

第1条为正定矩阵的定义，其余三条一般用于验证正定性；

正定矩阵的几何意义：二次型

将表达式${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$称为二次型（quadratic form）

之所以称为二次型，是因为整个式子的计算结果为二次多项式（不含线性一次项）

二次型的几何意义

若$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$含有两个变量，则二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$可以对应到三维空间中的某个曲面${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$

举例：

• $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 20\end{array}\right]$为正定矩阵，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=2x_1{}^2+12x_1{x}_2+20x_2{}^2>0(\mathbf{x}\ne 0)$，其图像最小值点为原点
• $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 18\end{array}\right]$为半正定矩阵，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=2x_1{}^2+12x_1{x}_2+18x_2{}^2\ge 0(\mathbf{x}\ne 0)$
  图像中，不只原点处函数值为0，例如当$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ -1\end{array}\right]$时，同样有${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=0$
  此时正好处在判定为正定矩阵的临界点上：
  行列式为0、特征值0和20，因而是奇异矩阵、只有一个主元；
  半正定矩阵所有特征值$\ge 0$，而不像正定矩阵（所有特征值$>0$）；
• $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 7\end{array}\right]$为不定矩阵，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=2x_1{}^2+12x_1{x}_2+7x_2{}^2$
  无法保证${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}\ge 0(\mathbf{x}\ne 0)$或${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}\le 0(\mathbf{x}\ne 0)$，故称“不定”；
  图像上没有最小值点，只有一个原点处的鞍点
  
  可以发现，从二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$的式子来看，是否为正定的，关键在于$x_1{x}_2$前面的系数
  （$x_1{}^2$和$x_2{}^2$项必然非负，它们如果能完全“抵消”$x_1{x}_2$的影响，就是正定矩阵）

正定矩阵的几何意义

对于正交矩阵只要$\mathbf{x}\ne 0$，二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0$，几何意义就是，$\mathbf{x}=0$就是该空间曲面的极小值点；

二元函数有极小值的条件是：

• 微积分视角：一阶导数为0，并且$f_{xx}{f}_{yy}>f_{xy}^2$$\Rightarrow$极小值点

或者等价的表述为：
二元函数有极小值的条件是，一阶导数为0，并且二阶导数矩阵$\left[\begin{array}{ll}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right]$为正定的；
其中，$\left[\begin{array}{ll}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right]$称为Hessian矩阵，它是多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率，注意Hessian矩阵必然是对称矩阵，因为二阶偏导满足$f_{xy}=f_{yx}$
在这个视角下，上述的$f_{xx}{f}_{yy}>f_{xy}^2$实际上就是Hessian矩阵的行列式

• 线性代数视角：矩阵$\mathbf{A}$正定$\Rightarrow$$\mathbf{x}=0$就是${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$的极小值点

从上可见，正定矩阵的一个实际应用，就是最优化、主成分分析，详见二次型与正定矩阵

半正定、负定矩阵

• 正定Positive definite，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$，对应的曲面为一个碗/抛物面，固定$z$轴截取一个平面，得到椭圆
  整个曲面可以找到极小值点
• 半正定Positive semidefinite ，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}\ge 0(\mathbf{x}\ne 0)$，对应的曲面为一个卷曲的纸面
  注意，如果撇去半正定矩阵中“可归为正定”的那一部分正定矩阵，剩余的半正定矩阵满足${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=0(\mathbf{x}\ne 0)$
  当半正定矩阵满足${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=0(\mathbf{x}\ne 0)$时，至少有一个特征值为0，则行列式为0，此时半正定矩阵为不可逆/奇异矩阵；
• 负定Negative definite，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}<0(\mathbf{x}\ne 0)$，对应的曲面为一个倒扣的碗
• 不定Indefinite，既不是半正定也不是半负定，对应的曲面为一个马鞍面，固定$z$轴截取一个平面，得到双曲线
  曲面没有极小值点，只有一个鞍点，鞍点在某个方向上看是极大值点，在另一方向上是极小值点，实际上最佳观测角度是特征向量的方向
  

正定矩阵与消元法、配方法的联系

给出二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，如何判断对应的图像取值的正负呢？
可以用配方法，并且配方法中的各个系数来自于消元

例如，给出$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 20\end{array}\right]$，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=2x_1{}^2+12x_1{x}_2+20x_2{}^2$，希望估计其图像（从而可以验证它是否有最小值、鞍点等，并且能进一步对应于正定/不定矩阵）
配方法：$$f(x,y)=2x^2+12xy+20y^2=2(x+3y{)}^2+2y^2$$可见，此时二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$，原点为最小值点，$\mathbf{A}$为正定矩阵

配方法是高斯消元法中将式子表示为平方项的好方法，实际上，配方法就是在消元
从$\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 20\end{array}\right]$消元得到$\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 0& 2\end{array}\right]$，表示为LU分解，得到
配方就是将多项式写为完全平方项之和，其中：

• 平方项里面是消元的倍数因子
• 平方项外面的系数就是主元
  这就是为什么消元后主元为正，则矩阵为正定矩阵（主元=完全平方项的系数，主元全为正，必然有${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$，从而对应正定矩阵）

上面通过二次型表达式的配方的例子，说明了对于二元多项式的配方等价于二阶方阵的消元；
实际上可以推广：n元（二次）多项式的配方，等价于n阶矩阵的消元

推广：三阶方阵的二次型

给出$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$，这是正定矩阵：

• 从左上角开始，子矩阵的行列式分别为2，3，4
• 消元后，对角线上的主元分别为$2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$（计算技巧：利用行列式的特点，消元后对角线上的主元乘积等于行列式）
• 特征值为$2-\sqrt{2},2,2+\sqrt{2}$
• 二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_3$
  LU消元得到$\left[\begin{array}{rrr}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ -1/2& 1& 0\\ 0& -2/3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}2& -1& 0\\ 0& 3/2& -1\\ 0& 0& 4/3\end{array}\right]$
  对于配方法$$\begin{gathered} 2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_3 \\ =2(x_1-1/2x_2{)}^2+3/2(x_2-2/3x_3{)}^2+4/3(x_3{)}^2 \end{gathered}$$可见有${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$，图像为碗/抛物面，有最小值点
• 此时二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$有三个变量，对应图像位于四维空间，若将函数值固定为1，“截取”图像，得到一个橄榄球 / 椭球体的方程$2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_3=1$
  （类比：对于2阶正定矩阵，在高为1的位置截取，得到一个椭圆的方程）
  从几何上，${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=1$的椭球体有三个主要的轴，三个轴的方向就是特征向量的方向，轴的长度就是特征值（由于有两根轴长度相等，则对于了有一个二重特征值），这就是主轴定理$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^T$的几何解释（对称矩阵的对角化，得到两边为正交矩阵，故可用转置代替求逆，中间为特征值矩阵）

最小二乘法与半正定矩阵${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$

之前说过，根据最小二乘法，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$无解时，转而求解${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{A}}^T\mathbf{b}$，该方程的解$\tilde{\mathbf{x}}$会是“最优解”
实际上，其理论依据就在于，当$\mathbf{A}$列满秩$r=n$时，${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$为满秩的正定矩阵，进而可逆（后一个方程必有解）

• 其中，${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$至少是半正定矩阵，即${\mathbf{x}}^T({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})\mathbf{x}\ge 0(\mathbf{x}\ne 0)$

从直观上理解，既然${\mathbf{x}}^T\mathbf{x}=|\mathbf{x}{|}^2\ge 0$对应向量自身的模长平方；
类比可得，方阵阵${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$也就应该有半正定型

• 证明${\mathbf{x}}^T({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})\mathbf{x}\ge 0(\mathbf{x}\ne 0)$：$${\mathbf{x}}^T({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})\mathbf{x}=(\mathbf{Ax}{)}^T\mathbf{Ax}=|\mathbf{Ax}{|}^2(向量模长的平方)\ge 0(\mathbf{x}\ne 0)$$仅当向量$\mathbf{Ax}=0(\mathbf{x}\ne 0)$，不等式式取等号
  这就是说，对于任意的长方形矩阵$\mathbf{A}$：
  当$\mathbf{A}$列不满秩$r<n$时，上式可以取等号，${\mathbf{x}}^T({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})\mathbf{x}\ge 0(\mathbf{x}\ne 0)$，${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$为半正定矩阵，且不可逆
  当$\mathbf{A}$列满秩$r=n$时，${\mathbf{x}}^T({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})\mathbf{x}>0(\mathbf{x}\ne 0)$，${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$为正定矩阵，且可逆（行列式大于零）

当然，列满秩$r=n$等价于列向量线性无关，从而$\mathbf{Ax}=0$有唯一零解，也就是说$\mathbf{A}$的零空间只有零向量，即零空间维度$n-r=0$，$n=r$
从零空间的角度，可以说：
在矩阵${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$必为半正定的基础上，
若$\mathbf{A}$零空间只有零向量则${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$为正定；若$\mathbf{A}$零空间还有其他非零向量，则则${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$不为正定的

当$\mathbf{A}$列不满秩$r<n$，${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$为半正定矩阵：

• 由于该情况下${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=0(\mathbf{x}\ne 0)$，而前面说过，当半正定矩阵满足${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=0(\mathbf{x}\ne 0)$时，至少有一个特征值为0，则行列式为0，此时半正定矩阵为不可逆/奇异矩阵；

当$\mathbf{A}$列满秩$r=n$，${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$为正定矩阵：

• 从${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$的正定上来说，更能理解最小二乘法中${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{A}}^T\mathbf{b}$的作用：
• ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$正定， 为计算带来了很多便利：消元时不用行交换、不用担心主元为负、易于计算等

reference:
MIT—线性代数笔记27 正定矩阵和最小值
特殊矩阵 （6）：正定矩阵
二次型的应用：二次型与正定矩阵