正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵

article/2025/9/20 4:01:02

正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵

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1.正定矩阵

一个 n×n 的实对称矩阵 M 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 z ，都有 z^TMz > 0 。其中 z ^T 表示 z 的转置。

2.负定矩阵

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵 $M$ 是负定矩阵当且仅当对所有不为零的 $x \in \mathbb{R}^n$ （或 $x \in \mathbb{C}^n$ ），都有：

$x^{*} M x < 0\,$

3.半正定矩阵

$M$ 是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的 $x \in \mathbb{R}^n$ （或 $x \in \mathbb{C}^n$ ），都有：

$x^{*} M x \geq 0$

4.半负定矩阵

$M$ 是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的 $x \in \mathbb{R}^n$ （或 $x \in \mathbb{C}^n$ ），都有：

$x^{*} M x \leq 0$

正定阵的判别[编辑]

对n×n的埃尔米特矩阵M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：

1.	矩阵 $M$ 的所有的特征值 $\lambda_i$ 都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说 $M = P^{-1}DP$ ，其中P是幺正矩阵，或者说M在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
2.	半双线性形式 $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ 定义了一个Cⁿ上的内积。实际上，所有Cⁿ上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3.	M是n个线性无关的k维向量 $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ 的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为： $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j.$ 换句话说，M具有 $A^A$ 的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4.	M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式： $M$ 左上角1×1的矩阵 $M$ 左上角2×2矩阵 ... $M$ 自身。对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
5.	存在唯一的下三角矩阵 $L$ ，其主对角线上的元素全是正的，使得： $M=L L^$ . 其中 $L^$ 是 $L$ 的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 $\mathbb{C}^n$ 改为 $\mathbb{R}^n$ ，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

相关性质[编辑]

若 $M$ 为半正定阵，可以写作 $M \geq 0$ 。如果 $M$ 是正定阵，可以写作 $M > 0$ 。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵， $M$ 、 $N$ ， $M\geq N$ 当且仅当 $M-N \geq 0$ 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 $M>N$ 。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 $M \geq N > 0$ 那么 $N^{-1} \geq M^{-1} > 0$ 。
2.	如果 $M$ 是正定阵， $r > 0$ 为正实数，那么 $r M$ 也是正定阵。如果 $M$ 、 $N$ 是正定阵，那么和 $M + N$ 、乘积 $MNM$ 与 $NMN$ 都是正定的。如果 $M N = N M$ ，那么 $M N$ 仍是正定阵。
3.	如果 $M=(m_{ij}) > 0$ 那么主对角线上的系数 $m_{ii}$ 为正实数。于是有 $\text{tr}(M)>0$ 。此外还有 $\| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}.$
4.	矩阵 $M$ 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵 $B>0$ 使得 $B^2 = M$ 。根据其唯一性可以记作 $B = M^{1/2}$ ，称 $B$ 为 $M$ 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果 $M > N > 0$ 那么 $M^{1/2} > N^{1/2}>0$ .
5.	如果 $M,N > 0$ 那么 $M\otimes N > 0$ ，其中 $\otimes$ 表示克罗内克乘积。
6.	对矩阵 $M=(m_{ij}),N=(n_{ij})$ ，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 $M\circ N$ ，即 $M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij}$ ，称为 $M$ 与 $N$ 的阿达马乘积。如果 $M,N>0$ ，那么 $M\circ N > 0$ 。如果 $M,N$ 为实系数矩阵，则有如下不等式成立： $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}.$
7.	设 $M > 0$ ， $N$ 为埃尔米特矩阵。如果 $MN+NM \geq 0$ （ $MN+NM > 0$ ），那么 $N\geq 0$ （ $N > 0$ ）。
8.	如果 $M,N\geq 0$ 为实系数矩阵，则 $\text{tr}(MN)\geq 0$ 。
9.	如果 $M>0$ 为实系数矩阵，那么存在 $\delta>0$ 使得 $M\geq \delta I$ ，其中 $I$ 为单位矩阵。